《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分的概念

s1 定积分的概念在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限：Ilima f(x,)Dx,i=1这类特殊极限问题导出了定积分的概念微回后页前页

前页 后页 返回 §1 定积分的概念 在很多数学和物理问题中，经常需要 求一类特殊和式的极限: 这类特殊极限问题导出了定积分的概念. 返回

三个典型问题1. 设 y=f(x),xI [a,bl,求曲边梯形 A 的面积S(A),其中A = (x, y)/xi [a,bl, 0 f yf f(x))Vy= f(x)S(A)0b0x巡回后页前页

前页 后页 返回 三个典型问题 1. 设 求曲边梯形 A 的面积 S (A), 其中 y O x

2. 已知质点运动的速度为v(t),tI [a,b].求从时刻a到时刻b.质点运动的路程s3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为r(x),xl[a,bl,求线状物体的质量m显然,当 f(x)°c为常值函数时,S(A)=c(b-α);当v(t)°v为匀速运动时，s=v(b-a)；当质量为均匀分布时 即r(x)°r 为常数时,m=r(b-a)这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情况福后页邀回前页

前页 后页 返回 2. 已知质点运动的速度为 求从时刻 3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为￾￾ 求线状物体的质量 m . 显然, 这就是说,在“常值” 、 “均匀” 、 “不变” 的情况下， a 到时刻 b,质点运动的路程 s

可以用简单的乘法进行计算，而现在遇到的问题是“非常值”、“不均匀”、“有变化”的情形解决这些问题呢？以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合理地归为一类特殊和式的极限中心思想：把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替邀回后页前页

前页 后页 返回 可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题 中心思想： 是“非常值” 、 “不均匀” 、 “有变化”的情形， 如何来解决这些问题呢？ 合理地归为一类特殊和式的极限. 把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每 个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替

代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.一分为二y=f (x)S(A)bx0X回后页前页

前页 后页 返回 代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的 一分为二 时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面 积. y O x

一分为四y= f(x)S(A)oaxxxbx1巡回后页前页

前页 后页 返回 一分为四 y O x

一分为八y=f(α)S(A)OaxxXi b x回后页前页

前页 后页 返回 一分为八 y O x

一分为 ny= f(x)x0hbax,x.ixX;可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积。巡回后页前页

前页 后页 返回 一分为 n 可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形 的面积. y O x

如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的过程呢？这可以分三步进行1.分割：把曲边梯形A分成n个小曲边梯形A ,A2 ,L ,An,即在[a,b] 上找到n-1个分点(x,x,,L,x,a<x,<x,<L<xi<b,Xn-1 ba xx巡回前页后页

前页 后页 返回 过程呢？ 这可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形 a 即在 上找到 个分点 如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的

为方便起见，记 x,=a,x，=bD =[x.i,x,l,Ax, =x, - x.,i=1, 2,L ,n用T=x,x,L,x,或T=(A,,△,来记这个分割2.近似：把小曲边梯形A.近似看作矩形，即任取x,[x,xl,在[x.,x1上把f(x)近似看作常数f(x).此时A,的面积 S,约为f(x)Ax,所以1S(A)=a S,"a f(x,)Ar,.i-1 i=1n上述和式af(x)Ax,称为积分和或黎曼和i=1后页返回前页

前页 后页 返回 2. 近似: