《数学分析》课程教学课件（讲稿）定积分在物理中的应用

S5定积分在物理中的应用定积分在物理中有看极其广泛的应用.在物理问题中，常遇到的物理量具有连续性与可加性·要求出某物理量@Φ，重要的是找到dΦ=f(x)dx，然后应用微元法化为计算@=f(x）dx一、液体静压力二、引力三、功与功率前页后页返回

前页 后页 返回 §5 定积分在物理中的应用 定积分在物理中有着极其广泛的应用.在物理问 一、液体静压力 ( )d . b a  = f x x 应用微元法化为计算  题中, 常遇到的物理量具有连续性与可加性. 要求 三、功与功率 二、引力 返回 出某物理量  , 重要的是找到 d ( )d ,  = f x x 然后

一、液体静压力例1如图所示为管道的圆形闸门（半径为30米）：问水平面齐及直y径时，闸门所受到的水x+Ax△A3的静压力为多大（设水x的比重为v）？解取圆心为原点，建立坐标系如图．此时圆的方后页返回前页

前页 后页 返回 例1 如图所示为管道 一、液体静压力 解 取圆心为原点, 建立坐标系如图. 此时圆的方 的静压力为多大(设水 径时,闸门所受到的水 米). 问水平面齐及直 的圆形闸门(半径为 3 O 3 A x y x x + x 的比重为  )？

程为x + y2 =9.由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水的比重与深度的乘积.故当△x很小时.从深度x到x+△x的狭条人A上所受的静压力为AP=dP=2uxV9-x'dx.而总静压力为各狭条所受的静压力之和，因此P=[2uxV9-x'dx =18v.后页返回前页

前页 后页 返回 9. 2 2 x + y = 由于在相同深度处水的静压强相同,其值等于水的 2 Δ P P vx x x  = − d 2 9 d , 而总静压力为各狭条所受的静压力之和, 因此 3 2 0 P vx x x v = − = 2 9 d 18 .  程为 比重与深度的乘积, 故当 Δx 很小时, 从深度 x 到 x +Δx 的狭条 ΔA 上所受的静压力为

二、引力例2 一根长为1的均匀细y1杆，质量为M在其中垂线dF.a上相距细杆为a处有一质dFdF,量为m的质点试求细杆对+1112X-1120x+dr质点的万有引力解建立直角坐标系如图所示.细杆位于x轴上的[-1/2,1/2],质点位于y轴上点a.任取后页返回前页

前页 后页 返回 二、引 力 例2 一根长为 l 的均匀细 解 建立直角坐标系如图所示. 细杆位于 x 轴上的 −l l 2 , 2 , 质点位于 y 轴上点 a . 任取 质点的万有引力. 量为 m 的质点,试求细杆对 上相距细杆为 a 处有一质 杆, 质量为 M, 在其中垂线 −l /2 O x l /2 dF x d dF F y x x +d a x y

[x,x + Ax 1c[-1/2, 1/2]则其质量微元为MdMdx二/它对质点m的引力为MkmkmdMdFdx.2r2a21+x由于细杆上各点对质点m的引力方向不同，因此不能直接对dF积分,为此将dF分解到x轴和y轴后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 2 d d d . km M km M F x r a x l = =  + d d . M M x l = [ , x x x l l +  − Δ ] 2 , 2   则其质量微元为 它对质点 m 的引力为 由于细杆上各点对质点m的引力方向不同,因此不 能直接对 dF 积分,为此将 dF 分解到 x 轴和 y 轴

两个方向上，得dF, =dFsine, dF =dFcose.a由cos-得垂直方向总合力为Va?+x?F,-fidF,=-2fakmMa3/2a?dx+xC1122kmMa 1xaa?+x?2kmMav4a?+}?后页返回前页

前页 后页 返回 两个方向上, 得 d d sin , F F x =  d d cos . F F y =  2 2 cos a a x  = + 由 得垂直方向总合力为 ( ) 3 2 2 2 2 2 0 2 d 2 d l l y y l kmMa F F a x x l − − = = − +   2 0 2 2 2 2 1 l a x x l a kmMa + = − . 4 2 2 2 a a l kmM + = −

负号表示合力与√轴方向相反1lx是上的奇函数sine一2'22Va +xkmMaxF-fedr,-adx = 0.Va?+x?2例3 设一半径为r的圆弧形导线,均匀带电,电荷密度为，在圆心正上方距圆弧所在平面为a处有一电荷为q的点电荷.试求圆弧形导线与点电荷之后页返回前页

前页 后页 返回 负号表示合力与 y 轴方向相反. 2 2 sin , , 2 2 x l l a x    = −  +   是 上的奇函数 2 2 2 2 2 2 d d 0. l l x x l l kmMa x F F x l a x − −   = = =     +   例3 设一半径为 r 的圆弧形导线,均匀带电,电荷 密度为 ,在圆心正上方距圆弧所在平面为a 处有 一电荷为q的点电荷. 试求圆弧形导线与点电荷之

间的作用力解把点电荷置于原点，z轴垂直向下，圆弧形导线置于水平面z=a上.根据库仑定律，电量为i，q2的两个点电荷之间5dF0的作用力为dF十dFkq,92Fdoa20pZ返回前页后页

前页 后页 返回 解 把点电荷置于原点 轴垂直向下圆 , , z 弧形导线 间的作用力. 1 2 2 . kq q F  = 的两个点电荷之间 的作用力为 1 2 置于水平面 上 根据库仑定律,电量为 z a q q = . ,  d r  z a dFt dF z O dF

其中p为两点电荷之间的距离,k是库仑常数把中心角为d@的一小段导线弧看作一点电荷，其电量为dQ=Sds=Srdp它对点电荷q的作用力为kSrqkqdQdF-do.a2+r0把dF分解为z轴方向的分力dF和水平方向的分力dF.由于点电荷位于圆弧形导线的对称轴Oz上，后页返回前页

前页 后页 返回 其中 为两点电荷之间的距离,k 是库仑常数. 把中心角为d 的一小段导线弧看作一点电荷,其 电量为 d d d . Q s r = =    它对点电荷 q的作用力为 2 2 2 d d d . kq Q k rq F a r    = = + 把 d d F z F 分解为 轴方向的分力 z 和水平方向的分 d . , 力 F Oz t 由于点电荷位于圆弧形导线的对称轴 上

且导线上的电荷密度恒为常数，因此水平方向分力dF互相抵消.而adFdF =dF cose福Va'+r?= kSraq(a + r')-3/2 dp于是垂直方向的总合力为2元kraqF.-JdF.-n+ryn这就是圆弧形导线与点电荷之间作用力的大小后页返回前页

前页 后页 返回 且导线上的电荷密度恒为常数, 因此水平方向分 力dFt 互相抵消.而 2 2 d d cos d z a F F F a r = =  + 于是垂直方向的总合力为 2 2 2 3 2 0 2 d . ( ) z z k raq F F a r    = = +  这就是圆弧形导线与点电荷之间作用力的大小. 2 2 3 2 k raq a r   ( ) d . − = +