《数学分析》课程教学课件（讲稿）由平行截面面积求体积

82由平行截面面积求体积W为三维空间中一立体.它夹在垂直于x轴的两平面x=a,x=b之间(a<"xl[a,bl作垂直于x轴的平面,截得 W的截面面积为 A(x)A(x)bX巡回后页前页

前页 后页 返回 §2 由平行截面面积求体积 面 x = a , x = b 之间(a < b). 作垂直于 x 为三维空间中一立体,它夹在垂直于 x 轴的两平 轴的平面,截得 的截面面积为 A(x). 返回

若A(x)在[a,bl上连续，则W的体积为V-0 A(x)dx,证设T:a=x,<x,<L<x,=b是[a,b]的一分割,[xi.1,x,I上 A(x)的最大最小值分别为 M,,m;则第i个小薄片的体积^V满足m,Ax,fAV,fM,Ar,于是am,Ax,tv-a av,ta M,Ar.i=1i=1i=1后页邀回前页

前页 后页 返回 证 若A(x) 在 于是

当T?O时aM,Dx,? A(x)dx, a m,Dx,? A(x)dx.i-1i=1因此 V-jA(x)dx.回后页前页

前页 后页 返回 因此

例1求由两个圆柱面x2+y2=a2与+x2=α2所7.围立体的体积a101r解先求出立体在第一卦限的体积V."x,I[0,alx=x,与立体的截面是边长为a-x的正方形巡回后页前页

前页 后页 返回 例1 求由两个圆柱面 围立体的体积. 解

所以 A(x)=α2-x2,x1 [0,αl.于是求得16V=8V/=80(a2-x)dx=一13以下讨论旋转体的体积。设f是[a,bl上连续函数，W是由平面图形A=i(x,y)oflylflf(x)l,afxfb)绕x轴旋转一周所得的旋转体，则A(x) =元 f"(x), x1 [a,b]V=nof'(x)dr.巡回前页后页

前页 后页 返回 以下讨论旋转体的体积

例2求由圆x2+(y-R)(0<r<R)绕x轴V个IITRI旋转一周所得环状立体的体积解x2+（v-R)=r2的上下半圆分别为+X0y= f(x)=R+vr2- x2,0y=fi(x)=R- Vr. x?因此 A(x)=p f2(x)- p f"(x)=4p Rvr2- x2从而V-8p Ro Vr - x'dx= 2p'r'R.后页巡回前页

前页 后页 返回 例2 旋转一周所得环状立体的体积. 解 从而

例3求由区域(x,)10x1,x2-绕轴旋转一周所得立体的体积，V解旋转体由曲线j,i [0,1]x-, 1 12和轴所围平面图形绕0X轴旋转一周而得.因此巡回后页前页

前页 后页 返回 例3 解

V-~(or'dy+0rdy -n(oy'dy+0(2- y)dyV+ 元(2y- ↓3复习思考题*若曲线C由极坐标方程r=r(g),ql[a,b|表示,其中0<a<b<元.试求由曲线c和射线=a,q=b围成的曲边三角形绕极轴旋转一周所得旋转体的体积公式巡回后页前页

前页 后页 返回 复习思考题