《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章课件_第三章第四节

第三章第四节函数的单调性极值和最值函数的单调性一、二、函数的极值三、函数的最值HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回机动结束

第四节 一、函数的单调性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的极值 函数的单调性 极值和最值 第三章 三、函数的最值

函数的单调性一f(x)在开区间I内可导定理1.设函数则f(x)在I内单调递增若 f'(x)>0若 f(x)O，xEI,任取 xi,X2EI (xi 05E(X1,X2)C I故 f(xi)<f(x2).这说明f(x)在I内单调递增DHIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

一、 函数的单调性 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 f x ( ) 0  证: 不妨设 任取 由拉格朗日中值定理得  0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则 在 I 内单调递减

更一般性设函数f(x)在开区间I内可导f(x)≥0若则f(x)在I内单调递增若f'(x)≤0则f(x)在I内单调递减等号仅在有限个点处成立HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

若 更一般性 则 在 I 内单调递增 f x ( ) 0  等号仅在有限个点处成立 在开区间 I 内可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则 在 I 内单调递减 设函数

f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间例.确定函数解: f(x)= 6x2 -18x+12 =6(x-1)(x -2)令 f(x)=0,得 x=1,x=21(-80,1)(1,2)2+8xO业f(x)f(x)故f(x)的单调增区间为（-0,1),(2,+)f(x)的单调减区间为(1,2)HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

例. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x = 1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1 , 2). 1 2 o x y 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：1）单调区间的分界点除驻点外也可是导数不存在的点1y=/x2例如, y= /x2 =x3,x E(-00, + 0)0=8Bx=02）如果函数在某驻点两边导数同号则不改变函数的单调性例如, =x3,xE(-00,+00)1x=0 = 0y'=3x2HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

y o x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y o x 3 y = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明不等式 e">1+x (x>0)证：设f(x)=e-x-l则f(x)在[0,+)上连续f'(x)=e*-l >e°-1=0x>0f(x)则 f(x)>f(O)=0即e*>1+xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 证明不等式 证: 设 ( ) 1 x f x e x = − −1 ( 0) x e x x  +  机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 x 即e x  +

二、函数的极值1、定义:设函数 f(x)在(a,b)内有定义，xo E(a,b)若存在xo的一个邻域，在其中当 x≠ xo时,(1)f(x)f(xo),则称 xo为 f(x)的极小点称f(xo）为函数的极小值极大点与极小点统称为极值点HIGH EDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

二、函数的极值 1、定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意：函数的极值是函数的局部性质D2）对常见函数极值可能出现在导数为0或不存在的点为极大点X1,X4为极小点X2,X5x3不是极值点0 ax X2 X X4X b xHIGHEDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

注意: 3 x 1 x 4 x 2 x 5 x x o a b y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、极值存在的必要条件若可导函数y=f(x)在点x取得极值,则点x一定是其驻点，即f(xo）=0HIGHEDUCATION PRESS

2、极值存在的必要条件

极值存在的第一充分条件3、U(x,8）内可导设函数(x）在x处连续，且在x的某去心邻域(1)若 xE(x。-,x) 时, f'(x)>0,一f(x)在x,处取得极大值；xe(xo,x, +8) 时, f'(x)0,(3)若xEU(x,）时，f(x)的符号保持不变则f(x)在x处没有极值HIGH EDUCATION PRESS

(1)若 0 0 x x x  − ( , )  时， f x ( ) 0,  0 0 x x x  + ( , )  时， f x ( ) 0,  f x( ) 在 0 x 处取得极大值； (2)若 0 0 x x x  − ( , )  时， f x ( ) 0,  0 0 x x x  + ( , )  时， f x ( ) 0,  f x( ) 在 0 x 处取得极小值； (3)若 0 ( , ) o x U x   时， f x ( ) 的符号保持不变, 则 f x( ) 在 0 x 处没有极值 设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心邻域 0 ( , ) o U x  内可导. 3、极值存在的第一充分条件