《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-7 常系数齐次线性微分方程

第七章第七节常系数齐次线性微分方程基本思路求解常系数线性齐次微分方程转化求特征方程（代数方程）之根

常系数 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第七章

二阶常系数齐次线性微分方程1"+py'+qy=0（p,q为常数）因为r为常数时，函数erx和它的导数只差常数因子所以令①的解为y=erx（r为待定常数）代入①得(r? + pr+q)erx = 0r? + pr +q= 0V称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根1.当p2-4q>0时,②有两个相异实根n,r2，则微分方程有两个线性无关的特解：Ji=e'*，2=e’x,因此方程的通解为=Cie'i*+C2 e'2x

二阶常系数齐次线性微分方程: r x y  e 和它的导数只差常数因子, 代入①得 ( ) e 0 2    r x r pr q 0 2 r  pr  q  称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 4 0 2 p  q  时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 r x r x y C 1 C 2 e e  1  2 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根

2. 当p2-4q=0 时,特征方程有两个相等实根 =r2=,则微分方程有一个特解 yi=eix设另一特解 y2 =yju(x)=e'i×u(x)(u(x)待定)代入方程得e"*[(u"+2ru'+r?u)+ p(u'+ru)+qu ]= 0u"+(2r +p)u'+(r+pr+)u=0注意r是特征方程的重根u"=0取u=x,则得y2= xeix,因此原方程的通解为y=(Ci +C2x)e'ix

特征方程 0 2 r  pr  q  2. 当 4 0 2 p  q  时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: e [ 1 r x ( ) 1 ( 2 )  p u   r u  q u   0 2 1 1 u   r u   r u 是特征方程的重根 u   0 取 u = x , 则得 e , 1 2 r x y  x 因此原方程的通解为 r x y C C x 1 ( ) e  1  2 ( 2 ) ( ) 0 1 2 u   r1  p u   r1  p r  q u 

麦克劳林级数：e=1+x+2sinx = xCOSX5!3!2140402i03i0s+192!3!5149S欧拉公式5=cos+isin0i0s02i0304-10-16215!341O5!3!=cosO-isin0

麦克劳林级数: 234 e 1 , 2! 3! 4! x x x x       x 3 5 sin , 3! 5! x x x x     2 4 cos 1 , 2! 4! x x x     2 3 4 5 i i i e 1 i , 2! 3! 4! 5!              2 3 4 5 i i i e 1 i , 2! 3! 4! 5!               2 4 3 5 1 i 2! 4! 3! 5!                            cos isin ,   2 4 3 5 1 i 2! 4! 3! 5!                            cos isin ,   欧拉公式        

3. 当p2-4q<0 时,特征方程有一对共轭复根=α+iβ, =α-iβ这时原方程有两个复数解i=e(α+iB)x=ea*(cosβx+isin βx)2 =e(aα-iB)×=ea*(cosβx-isin βx)利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解Ji = (yi + y2) =ea* cos βx2 = 2(yi - y2)= ea× sin βx因此原方程的通解为y=eax(Cicosβx+C2sinβx)

特征方程 0 2 r  pr  q  3. 当 4 0 2 p  q  时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: x y ( i ) 1 e     e (cos x i sin x ) x      x y ( i ) 2 e     e (cos x i sin x ) x      利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1y  y  y ( ) 2 i 1 2 1 2 y  y  y x x    e cos x x    e sin 因此原方程的通解为 e ( cos sin ) 1 2 y C x C x x     

小结："+py'+qy=0（p,q为常数）特征方程：r2+pr+q=0,特征根:ri,r2解通特征根y=Cie'*+C2e'2xr￥r2实根y=(Ci +C2x)e'ix=r=-号y=edx(Ci cos βx+ C2sinβx)ri2=α±iβ以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程

小结: y   p y   q y  0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r  pr  q  r x r x y C C 1 2 e e 实根  1  2 r x y C C x 1 ( ) e  1  2 e ( cos sin ) 1 2 y C x C x x      特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程

推广：(n) +ai y(n-l) +..+an-1'+any=0 (ak 均为常数)特征方程：r" +ajrn-l+·.+an-1r+an=0若特征方程含k重实根r，则其通解中必含对应项(Ci +C2x+.+Chxk-l)e"x若特征方程含k重复根r=α土iβ，则其通解中必含对应项eαx[(Ci +C2x+...+Ckxk-l)cos βx++(D + D2x+.+ Dk xk-I )sin βx)（以上Ci,D,均为任意常数）

若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 0 ( ) 1 ( 1) 1 y (n)  a y n  an y   an y  ak 均为常数 特征方程: 0 1 1  1       n n n n r a r  a r a 推广:

例1.求方程j"2y'-3=0 的通解解：特征方程 r2-2r-3=0,特征根：r=-1,=3因此原方程的通解为 =C,e-+C,e3xds+S=0dtd例2.求解初值问题dsdit= 0=-2解：特征方程r2+2r+1=0有重根=r2=-1因此原方程的通解为 s=(C +C2t)e-t利用初始条件得Ci = 4, C2 =2于是所求初值问题的解为 s=(4+2t)e-t

例1. 求方程 y   2 y   3 y  0 的通解. 解: 特征方程 2 3 0, 2 r  r   特征根: 1 , 3 , r1   r2  因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 0 d d 2 d d 2 2   s  t s t s 4 , s t0  2 d 0 d   t t  s 解: 特征方程 2 1 0 2 r  r   有重根 1 , r1  r2   因此原方程的通解为 t s C C t   (  ) e 1 2 利用初始条件得 4, C1  于是所求初值问题的解为 2 C2 

例3.求方程 y"-2 y'+5y=0的通解解：特征方程r2-2r+5=0,特征根：r2=1±2i因此原方程的通解为y=e*(C, cos2x+C, sin2x)

例3. 求方程 y y y      2 5 0 的通解. 解: 特征方程 2 r r    2 5 0, 特征根: 1,2 r i  1 2 , 因此原方程的通解为

例4.求方程(4)-2y"+5y"=0 的通解解：特征方程 r4-2r3+5r2=0,特征根：ri =r2 =0, r3.4=1±2i因此原方程通解为y= Ci + C2x +e*(C3 cos2x + C4 sin 2x)例5. 解方程 y(5)-y(4) =0.解：特征方程：r5-r4=0，特征根=r2 = r = r4 = 0, =1原方程通解：y=Ci+C2x+C3x?+C4x3+Cse（不难看出，原方程有特解1,x,x2,x3,e"）

例4. 的通解. 解: 特征方程 2 5 0, 4 3 2 r  r  r  特征根: 0, 1 2 i r1  r2  r3 , 4   因此原方程通解为 y  C1  C2 x  e ( cos 2 sin 2 ) 3 4 C x C x x  例5. 0. (5) (4) 解方程 y  y  解: 特征方程: 0, 5 4 r  r  特征根 : 0, 1 r1  r2  r3  r4  r5  原方程通解: y  C1  C2 x   2 3 C x  3 4 C x x C e 5 (不难看出, 原方程有特解 1, , , , e ) 2 3 x x x x