《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第二章 导数与微分_2-2 求导法则

第二节函数的求导法则一、四则运算求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则四、初等函数的求导问题

第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 函数的求导法则

解决求导问题的思路：f(x+△x)- f(x)f'(x)= lim（构造性定义）△x△x-→0f[x+p(x)]-f(x)limp(Ax)-0p(Ax)

解决求导问题的思路: ( 构造性定义 ) ( ) 0 [ ( )] ( ) lim ( ) x f x x f x  x         

解决求导问题的思路：f(x+△x)- f(x)f'(x)= lim（构造性定义）△x△x-→0本节内容求导法则r(C)'=O(x")= uxu-l其他基本初等(sin x)'= cos x证明中利用了函数求导公式(ln x)'=两个重要极限X初等函数求导问题

解决求导问题的思路: ( 构造性定义 ) 求导法则 其他基本初等 函数求导公式 0 c o s x x 1 ( C )  ( s in x )  ( ln x )  证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容 1 x    ( ) x   

一、四则运算求导法则定理1.函数u=(x）及v=v(x）都在点x可导u(x）及v(x）的和、差、积、商（除分母为0的点外）都在点x可导，且(1) [u(x)±v(x))'= u'(x)±v'(x)(2) [u(x)v(x))"= u'(x)v(x) +u(x)v'(x)u'(x)v(x)-u(x)v'(x)u(x)(v(x)± 0)(3)v(x)y?(x)

一、四则运算求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 函 数 u  u ( x ) 及 v  v ( x ) 都 在 点 x 可 导 u ( x) 及 v( x) (1) [u ( x )  v ( x )]  u ( x )  v ( x ) (2) [u ( x )v ( x )]  u ( x )v ( x )  u ( x )v ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) 2 v x u x v x u x v x v x u x          ( v( x)  0 )

(l) (u±v)'=u'±y此法则可推广到任意有限项的情形.例如(u+v-w)'=u'+v'-w(2) (uv)'= u'y+ uv推论：1）（Cu）=Cu’（C为常数）2)(uvw)'=u'vw+u'w+uvwInx3)(logax)xlnana

此法则可推广到任意有限项的情形. (1 ) ( u  v )   u   v  例如, (u  v  w)  u   v   w  (2) ( u v )   u  v  u v  推论: 1) ( C u )  2) ( uvw )  C u  u  vw  uv  w  uvw  3) ( log a x )         a x ln ln x ln a 1  ( C为常数 )

例1. = ~x(x3 - 4cos x-sin1),求y'及ylx=l解: y'=(Vx)'(x3 - 4cos x - sinl)+/x (x3 - 4cos x - sin1)-4cosx-sin1)+/x(3x+4sinx）(1-4cos1-sin1)+(3+4sin1)7Tsinl-2cosl2

例1. 解:  4 sin x ( 1 21  sin 1 ) ( 4 cos sin 1) , 3 y  x x  x  y  ( x )  x  (  4 cos  sin1)  2 1 3 x x x 2 x ( 3 x ) y x 1   4 cos 1  ( 3  4 sin 1) sin1 2 cos1 27 27    ( 4 cos sin 1) 3 x  x  ( 4 cos sin 1) 3 x  x  

(3)(")_u-ur")_-Cv'（C为常数）推论：

(3)   2 v u v u v vu     推论 :   2 vC v vC    ( C为常数 )

例2.求证(tan x)'= sec2 x， (cscx)=-csc xcot x.sinx(sinx)'cosx-sinx(cosx)证： (tanx)"cos? xcOSxcos? x +sin? x = sec?xcosx(sin x)- cos x(csc x)'=sinxsinxsinx=-cscxcotx类似可证:(cot x)'=- csc2x，(sec x)'= sec xtan x

(csc x)         sin x 1 x 2 sin   (sin x) x 2 sin  例2. 求证 证:          x x x cos sin (tan )  x 2 cos (sin x) cos x  sin x (cos x)  x 2 cos x 2 cos x 2  sin x 2  sec  c o s x   c sc x c o t x 类似可证: (cot ) csc , 2 x    x (sec x )  sec x tan x

熟练掌握三角函数的导数：(sin x)' = cos x,(cos x)= -sin x,(tan x)'= sec? x,(cot x)' = - csc x (sec x)'= sec x tan x, (csc x)'=-csc x cot x

(cos ) sin , x x    (sec ) sec tan , x x x   熟练掌握三角函数的导数： 2 (cot ) csc , x x   

二、反函数的求导法则定理2. 设 y= f(x)为 x= f-l(y)的反函数，f-l(y)在y的某邻域内单调可导，且［f-(y)}"0dy11或f'(x)=dx[f-'(y)]'dxdy证：在x处给增量△x±0由反函数的单调性知AyAy= f(x+△x)-f(x)±0, AxAxAy且由反函数的连续性知△x→0时必有y→0,因此1Ay1= limf'(x)= limAx[f-'(y)"Ax->0 AxAy-0Ay

f (x)  二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y  f x 为 x  f 1 y 的反函数 f 1 ( y) 在 [ ( )] 0 1    且 f y d d  x y 或 x  0 , y  f ( x  x )  f ( x )  0 ,     x y y x   x  0 时必有 y  0 , x y f x x      0 ( ) lim lim  0  y y x   y x d d  1 [ ( )] 1   f y 1 1 [ ( )] 1   f y 1 1