《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-8 常系数非齐次线性微分方程

第七章第节常系数非齐次线性微分方程一、 f(x)=eax Pm(x)型二、 f(x)=exx[P(x)cosox+ Pn(x)sin 0x) 型

常系数非齐次线性微分方程 第八节 f (x)  e  x Pm (x) 型 f x P x x l x   ( )  e [ ( ) cos ( )sin ] 型 ~ P x x  n  一、 二、 第七章

二阶常系数线性非齐次微分方程：j"+py'+qy=f(x)（p,q为常数)根据解的结构定理，其通解为y=Y+y*齐次方程通解非齐次方程特解求特解的方法一待定系数法根据f(x）的特殊形式，给出特解*的待定形式代入原方程比较两端表达式以确定待定系数

y   p y   q y  f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y  Y  y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法

一、 f(x)=eax Pm(x)型a为实数，Pm(x）为m次多项式设特解为y*=e^×Q(x),其中Q(x)为待定多项式，y*'=eax[aQ(x)+Q'(x)]y*" =eax[2? Q(x)+2aQ'(x)+Q"(x)]代入原方程，得9"(x) +(22 + p)g'(x)+(22 + pa +q)Q(x) = Pm(x)(1）若不是特征方程的根，即＋p＋0,则取Q(x）为m次待定系数多项式Qm(x），从而得到特解形式为 y*=etxQm(x)

e [Q (x) x    ( 2   p )Q(x) ( ) ( )] 2    p   q Q x e P (x) m  x  一、 f (x)  e  x Pm (x) 型  为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q (x) ,  x  其中 Q ( x) 为待定多项式 , y* e [ Q (x) Q (x)] x       * e [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y Q x Q x Q x x          代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . y   p y   q y  f (x) (1) 若  不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 y* e Q (x) . m  x  Q (x) 为 m 次待定系数多项式

Q"(x) (2+pQ(x) +(a? + pa+gQ(x) = Pm(x)(2）若入是特征方程的单根，即+p+q=0,2+p0,则(x)为m 次多项式,故特解形式为 y*=xQm(x)ex(3）若几是特征方程的重根，即+p+q=0,2元+p=0,则Q"(x)是 m 次多项式,故特解形式为 y*= x2Qm(x)e~x小结对方程①，当是特征方程的k重根时，可设特解 y*=xk Qm(x)eix (k =0,1, 2)此结论可推广到高阶常系数线性微分方程

(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若  是特征方程的重根 , 2  p  0 , 则Q(x) 是 m 次多项式,故特解形式为 x m y x Q x  * ( ) e 2  小结 对方程①, y*  x Q (x) e (k  0, 1, 2) x m k  此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q(x) P (x) ( ) ( )  m 2    p   q Q x 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解

例1.求方程y"-2y'-3y=3x+1的一个特解解：本题=0，而特征方程为r2-2r-3=0，入= 0不是特征方程的根设所求特解为y*=box+b，代入方程：-3box-3b, -2bo =3x +1比较系数，得[-3bo = 3bo = -1, b =(- 2bo -3b, =1于是所求特解为J*=一x+

例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 3 1 1 , b0   b1  于是所求特解为   0   0

例2.求方程y"-5y+6y=xe2x的通解解：本题=2,特征方程为r2-5r+6=0,其根为r=2, r2 =3对应齐次方程的通解为 Y=C,e2×+Cze3xy*= x(bo x+b)e2x设非齐次方程特解为代入方程得-2bo×-b+2bo=x -2bo =1b, = -1比较系数，得2[2bo -b = 0因此特解为 y*=x(-x-1)e2xe21所求通解为y=Ce2x+C,e3x-（x2+x）

例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 5 6 0 , 2 r  r   其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 x y x b x b 2 0 1 *  (  ) e 比较系数, 得 , 1 2 1 b0   b1   因此特解为 * ( 1) e . 2 2 1 x y  x  x  代入方程得  b x  b  b  x 0 1 0 2 2 所求通解为 ( ) e . 2 2 2 1 x  x  x   2

y"+3y"+2y'=1例3.求解定解问题(0) = y'(0) = y"(0) = 0解：本题=0,特征方程为r3+3r2+2r=0,其根为n =0, r2 =-1, r3 =-2故对应齐次方程通解为 Y=Ci+C2e-×+C;e-2x设非齐次方程特解为*=bx.代入方程得2b=1.故1*=六X，原方程通解为y=Ci+C2e-*+C3Ci + C2 + C3 = 0由初始条件得- C2 - 2C3 = - 2C2 +4C3 = 0

例3. 求解定解问题               (0) (0) (0) 0 3 2 1 y y y y y y 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 2 1  C2  2C3   故对应齐次方程通解为 Y  C1 x C   e 2 x C 2 3 e   原方程通解为 C1 y  x C   e 2 x C 2 3 e   由初始条件得   0

解得C =-34C2 = 1C, = - V4于是所求解为+2x+4e-x-e-2

于是所求解为 y x x x 2 1 e 4 1 e 4 3 2        解得 4 1 1 4 3 3 2 1      C C C

二、f(x)=ex[P(x)cos0 x+ P,(x)sinO x I型分析思路：第一步将f(x）转化为(x) = Pm(x)e(a+i0)*+ Pm(x)e(a+i0)x第二步求出如下两个方程的特解y"+ py'+ qy = Pm(x)e(a+io)xy"+ py' + qy =Pm(x)e(i+io)x第三步利用叠加原理求出原方程的特解

二、 f x  x  Pl x  x Pn (x)sin x 型 ~ ( )  e ( ) cos     x f x Pm x ( i ) ( ) ( ) e   x Pm x ( i ) ( ) e    第二步 求出如下两个方程的特解 x y p y q y Pm x ( i ) ( ) e         y   p y   q y  分析思路: 第一步将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 x Pm x ( i ) ( ) e   

欧拉公式：i0=cos+isin0,16=cos-isin0-10H-16e-ecOsAsine22i

欧拉公式: i e cos isin .       i e cos isin ,      i i e +e cos = , 2     i i e -e sin = . 2i          