《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-6 函数图形的描绘

第三章第六节函数图形的描绘曲线的渐近线函数图形的描绘

第六节 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘 函数图形的描绘 第三章

曲线的渐近线一1.水平与铅直渐近线若 lim f(x)=b,则曲线 =f(x)有水平渐近线 y=br-+00(或x→-)若 lim f(x)=oo,则曲线 = f(x)有铅直渐近线 x= xox→0(或x→x)例1.求曲线y=+2的渐近线1 x-l解：：lim+2)=2xx-0 x-1:y=2为水平渐近线；: lim(一+2）=00，：x=1为铅直渐近线x-1 x-1

1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 y  b. (或 x  ) 若 则曲线 有铅直渐近线 . 0 x  x ( ) 0   或 x x 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 2) 2 1 1 lim (   x x    y  2 为水平渐近线; 2) , 1 1 lim( 1    x x    x  1为铅直渐近线. y x O 2 1 一、 曲线的渐近线

练习题X1+e1.曲线y:(D1-e-x(A）没有渐近线：（B）仅有水平渐近线；（C）仅有铅直渐近线：(D）既有水平渐近线又有铅直渐近线I+e-x2l+e提示：limlim81x→0x-→800

练习题 1. 曲线 ( ) 1 e 1 e 2 2 x x y      (A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线； (C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: 1; 1 e 1 e lim 2 2       x x x        2 2 1 e 1 e lim 0 x x x D

2.斜渐近线若 lim [f(x)-(kx+b)]=0,则曲线 y=f(x)有x→+0斜渐近线y=kx+b(或x→-00)lim [f(x)-(kx+b)]=0f(x)拉x+80k = limxX→+8f(x)f(x)lim x-k = limX-→+00xxX→+00I(或x→-8)f(x)limk-=1=0b= lim Lf(x)-kx)2XXX+00X+(或x→-0)

2. 斜渐近线 斜渐近线 y  k x  b . (或 x  ) 若 (k x  b) ] 0 ( ) lim [     xb k x f x x x (k x  b ) ] 0 ( ) lim [     xb k x f x x ] ( ) lim [ xb x f x k x    x f x k x ( ) lim   b lim [ f (x) k x] x     ( 或 x   ) ( 或 x   )

P的渐近线例2.求曲线y=x? +2x-3OL-3x七lim y=00解：：=(x + 3)(x - 1)x-→-3-(或x→1)所以有铅直渐近线x=-3及x=1小f(x) = lim又因 k= lim=11mx2 + 2x-3xX-80-2x2+3x=-2b= lim [f(x)-x] = limx-→00 x2 + 2x - 3X8y=x-2为曲线的斜渐近线

例2. 求曲线 的渐近线. 解: , ( 3)( 1) 3    x x x  y lim , 3     y x (或 x  1) 所以有铅直渐近线 x  3 及 x  1 又因 x f x k x ( ) lim   2 3 lim 2 2     x x x x b lim [ f (x) x] x    2 3 2 3 lim 2 2       x x x x x  y  x  2 为曲线的斜渐近线 . 3 1 y  x  2 y O x

练习题2.求曲线f(x)=(2x-1)e的斜渐近线y = 2x+1

2. 求曲线 的斜渐近线. 练习题

二、函数图形的描绘步骤：1.确定函数y=f(x)的定义域，并考察其对称性及周期性；2.求f'(x),f"(x),并求出f(x)及f"(x）为0和不存在的点；3.列表判别增减及凹凸区间，求出极值和拐点：4.求渐近线；5.确定某些特殊点，描绘函数图形

二、函数图形的描绘 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周

例3.描绘y=1x3-x2+2的图形解：1)定义域为(-00,+00),无对称性及周期性2) y'= x2 -2x, y"= 2x - 2,令y=0，得x=0,2令y"=0,得x=1L10123x3)x(-00,0)0(0,1)1(1,2) /2(2,+)00y0y4-32-322(拐点)（极大)极小）X3-1-4）223

例3. 描绘 的图形. 解: 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 2 , 2 y   x  x y   2 x  2 , 令 y   0 , 令 y   0 , 3) x y  y  y ( ,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2 ,  )  0   0      2 3 4 (极大) (拐点) 3 2 (极小) 4) x y 1 3 3 2 2 0 1 1 2 3 y O x

例4.描绘方程(x-3)2+4-4x=0的图形(x-3)2解:1)y=定义域为(-00,1),(1,+0)4(x -1)2）求关键点.原方程两边对x求导得①2(x-3)+4y'-4y-4xy=0y'= x-3-2y _ (x-3)(x+1)2(x -1)4(x -1)2导2+4y"-8y'-4xy"=0①两边对x求导得1-4y22(x-1)(x-1)3令y=0得x=-1,3;

例4. 描绘方程 的图形. 解: 1) , 4( 1) ( 3) 2    x x y 定义域为 2) 求关键点. 2( x  3)  4 y  4 y  4 x y   0 2( 1) 3 2       x x y y 2  4 y   8 y   4 x y   0 2( 1) 1 4       x y y 令 y   0 得 x  1, 3 ; 原方程两边对 x 求导得 ① ①两边对 x 求导得

3）判别曲线形态3(1,3)(-1,1) /1(3, + 00)-1-8.-10XO无定义VV(极大)(极小)4）求渐近线：limy=80，x=1为铅直渐近线X-1(x-3)22(x -3)(x +1)y=4(x-1)4(x -1)2(x-1)

x ( , 1) 1 (1,1) 1 (1,3) 3 (3,  ) y  y  y          2 0 , 4( 1) ( 3) 2    x x y , 4( 1) ( 3)( 1) 2      x x x y 3 ( 1) 2    x y 3) 判别曲线形态 0 0 (极大) (极小) 4) 求渐近线 lim , 1    y x  为铅直渐近线 无 定 义  x  1