《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-4 无穷小与无穷大

第四节无穷小乌无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系

二、 无穷大 三、 无穷小与无穷大的关系 一 、无穷小 第四节 无穷小与无穷大

一、无穷小定义1.若x→xo时,函数 f(x)→0,则称函数 f(x)(或x→)为x→xo时的无穷小(或x→ 8)例如：lim(x-1)=0，函数x-1当x→1时为无穷小x-1lim ==0,函数二兰当x→时为无穷小；-xx→xlim=0,函数当×→-00时为无穷小1-x1-xX-8

当 一、 无穷小 定义1 . 若 时, 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x  ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x  )

定义1.若x→x(或 x→ )时,函数f(x)→0,则则称函数f(x)为x→xo(或 x→0)时的无穷小西瓜视频数学尼机上

( 或 x   ) 时, 函数 则称函数 为 定义1. 若 ( 或 x   ) 则 时的无穷小

定义1.若x→x(或 x→00)时,函数f(x)→0,则则称函数f(x)为x→xo(或x→0)时的无穷小说明：除0以外任何很小的常数都不是无穷小！注1.必须指明自变量的变化过程（0除外）2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆无穷小：（（函数的绝对值）无限变小

说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! (或 x   ) 时, 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x   ) 则 时的无穷小 . 注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆（0除外） 无穷小：（函数的绝对值）无限变小

定理1（无穷小与函数极限的关系）f(x)= A+α，其中α为 x→xolim f(x)=A x→Xo时的无穷小量证: lim f(x)= AX→Xo>,>0,当0-时,有[f(x)-A|<α= f(x)-Alim α= 0x→xo对自变量的其他变化过程类似可证

其中 为 0 x  x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x   lim ( ) 0 f ( x )  A   , 证: f x A x x   lim ( ) 0    0 ,    0 , 当     0 0 x x 时,有 f ( x)  A     f ( x )  A lim 0 0    x x 对自变量的其他变化过程类似可证

二、 无穷大定义2.若任给M>0，总存在S>0(正数X)，使对一切满足不等式 0X）的x，总有1I f(x) | >M则称函数 f(αx)当 x→x(x→)时为无穷大,记作lim f(x) = 00(lim f(x)= 00 )x→XoX->00若在定义中将①式改为f(x)>M （f(x)<-M）则记作 lim f(x)=+o0 （ lim f(x)=-oo)X→XoX-X0(x80)(x-→00)

二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0     f x x x x ( x  X ) ( x   ) (lim ( ) ). x f x     (正数 X ) , 记作 ( f (x)  M ), 总存在

注意：1.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态2.函数为无穷大，必定无界，但反之不真！例如，函数f(x)=xcosx,xE(-00,+o0)f(2n元）=2n元→00（当n→00）但f(+n元）=0V=xcoSx所以x→时，f(x)不是无穷大！

注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 但 不是无穷大 !

例.证明lim8x-1x-1证：任给正数M，要使>M,即|x-1|Mx-1所以 lim8x1x-1X说明：若 lim f(x)= 00,则直线 x=xoX→Xo铅直渐近线为曲线y=f(αx）的铅直渐近线

例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M   则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x x 为曲线 的铅直渐近线 . 铅直渐近线 说明:

三、无穷小与无穷大的关系定理2.在自变量的同一变化过程中若f(x)为无穷大，则为无穷小；f(x)若f(x)为无穷小,且 (x)≠0,则为无穷大f(x)说明：#据此定理，关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论

三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0 , 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明:

内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系思考与练习P37题1作业P37 *2 (2) ; 4 (1) ; 8

内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 思考与练习 P37 题1 作业 P37 *2 (2) ; 4 (1) ; 8