《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-4 函数的单调性与曲线的凸凹性

第三章第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点

第四节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章

一、函数单调性的判定法定理1.设函数f(x）在开区间I内可导，若f(x)>0(f(x)0,xEI,任取Xi,X2EI (X 0E(Xi,X2)CI故 f(x)<f(x2).这说明 f(x)在I内单调递增证毕

一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f ( x)  0), 则 在 I 内单调递增(递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得  0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕

例1.确定函数 f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间解: f'(x) = 6x2 -18x+12 = 6(x -1)(x - 2)令f(x)=0,得x=1, x=21(1,2)(-8,1)2(2, +00)x0f'(x)f(x)V2故f(x)的单调增区间为(-00,1]，[2,+);f(x)的单调减区间为[1,2]112x

例1. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 1 8 1 2 2 f  x  x  x   6( x  1) ( x  2) 令 f ( x)  0 , 得 x  1, x  2 x f ( x) f (x) ( , 1) 2 0 0 1 (1 , 2) (2 ,  )   2 1 故 的单调增区间为 ( , 1] ,   [2 , );   的单调减区间为 [1 , 2]. 1 2 O x y 1 2

说明：1）单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点例如, y=/x?,xE(-00,+8)yly=/x?233xOXX=0=00V2如果函数在某驻点两边导数同号则不改变函数的单调性例如, y=x3,xE(-00,+80)xy'= 3x2lx=0 = 0

y O x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y  x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y O x 3 y  x

单调性可以用来证明不等式，零点个数例2．试证明当x>1时,有2/反>3-1证明 考虑函数(t)=2V-(3-），只要证f(x)>0(x>1)即可Vx3-111f(x)=x当x>1时,f'(x)>0，因此在[1,+oo]上f(x)单调增加从而当x>1时，f(x）>f()由于f(1)=0，故f(x)>f(I)>0，即2/k-(3-})>0. =2/>3-1.x

单调性可以用来证明不等式，零点个数. 例2. 试证明当 x 1 时,有 . 1 2 3 x x   考虑函数 ，只要证 即可. 1 f x x ( ) 2 3 x          f x x ( ) 0( 1)   3 2 2 1 1 1 '( ) x f x x x x     1 , ( ) 0 [1, ] ( ) 1 ( ) (1). 当 时 ，因此在 上 单调增加， 从而当 时， x f x f x x f x f       证明 1 2 - 3 0, x x         由于f f x f (1) 0 ( ) (1) 0    ，故 ，即 1 2 3 . x x   

设常数k>0，函数f(x)= lnx-+k在(0,+oo)内例3．i零点的个数。解: 由于f(x)=-故Xf(e)=0, f'(x)>0,(0e):f(x)在(O,el上单调增加的，再由f'(e)=0,f(x)在[e,+o)上单调减少的。」=f(e)取到极大值。yf(e)=k>0, f(0+)=lim f(x)=-00,X0kf(+o0) = lim f(x)= -00,0oe:f(x)在(0,+o0)内有两个零点

例3. 设常数 k>0，函数 在 内 零点的个数。 ( ) ln ex f x x k    (0, )  由于 ，故 1 1 ( ) e f x x    f (e) 0,   f x( ) (0,e] 在 上 单 调 增 加 的， 解 : f x x ( ) 0,(0 e),    f x x ( ) 0,( e).   f x( ) [e,+ ) 在  上单调减少的。 再由f (e) 0  ，  f (e)取到极大值。 f k (e) 0,   0 (0 ) lim ( ) , x f f x       ( ) lim ( ) , x f f x        f x( ) (0, ) 在 内有两个零点 。 O x y e k

二、曲线的凹凸与拐点定义.设函数f(x)在区间I上连续，Vxi,x2EI-f(x)+f(x2)Gi+X2)(1)若恒有,f(则称f(x)的22图形是凹的；f(x)+ f(x2)Ci+X2(2)若恒有,f(则称f(x)的22拐点图形是凸的V4连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点x

A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 二、曲线的凹凸与拐点 y O x 2 x x1 2 1 2 x  x y O x 2 x x1 2 1 2 x  x 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . y O x 拐点

定理2.(凹凸判定法）设函数f(x）在区间I上有二阶导数(1)在I内f"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的；+(2)在I内f"(x)0时, ()f(x2)>f(三),说明(1)成立;2证毕(2)

定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .  证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x  f  ( ) ( ) 2 f x  f  两式相加 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x  x  [ ( ) ( )] 1 2 f    f   当 f ( x)  0时, 说明 (1) 成立;   (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 , 2 1 2 x  x 记    f () ( ) x1   f () ( ) x2   2 ! ( ) 2 f    2 2 ( x  ) 2 ! ( ) 1 f    2 1 ( x  ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x  f x  f  ( ) , 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x   

例4.判断曲线y=x4的凹凸性解: y'= 4x3, y"=12x2当x±0时，y">0；x=0时，y"=0,X故曲线=x4在（-00,+）上是向上凹的.O说明：1）若在某点二阶导数为0，在其两侧二阶导数不变号则曲线的凹凸性不变根据拐点的定义及上述定理，可得拐点的判别法如下2)7若曲线y=f(x)在点xo连续,f"(xo)=0或不存在但f"(x）在xo两侧异号，则点(xo,f(xo））是曲线y=f(x)的一个拐点

x y O 例4. 判断曲线 的凹凸性. 解: 4 , 3 y   x 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f ( x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号

例5.求曲线y=3/x的拐点解：y'=1x%，12(0,+8)-8,0不存在凸凹因此点（0,0）为曲线y=3/x的拐点

例5. 求曲线 的拐点. 解: , 3 2 3 1  y   x 3 5 9 2  y    x x y  y ( , 0) 0 (0 ,  ) 不存在 0  因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸