《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章 微分中值定理与导数的应用_3-7 曲率

第三章第七节平面曲线的曲率主要内容：一、弧微分曲率及其计算公式三、 E曲率圆与曲率半径

第七节 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率 第三章

一、弧微分设 = f(x)在(α,b)内有连续导数，ty= f(x)在曲线y=f(x)上取固定点M。(xo,yo）MoM作为度量弧长的基点，并规定依x增大s=s(x)的方向作为曲线的正向.对曲线上任Xoxx一点M（x,y）,规定有向弧段M.M的值s(简称为弧s）：s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段MM的方向与曲线的正向一致时s>0.相反时s<0：s=s(x）是x的单调增加的函数.下面求s(x）的导数及微分

一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 并规定依 增大 的方向作为曲线的正向. x O y  f ( x) x y 0 x M0 x 0 0 0 M 在曲线 ( ) ( , ) 上取固定点 作为度量弧长的基点, y f x M x y  0 ( , ), ( ) : 对曲线上任 一点 规定有向弧段 的值 简称为弧 M x y M M s s s s x  ( ) s的 绝 对 值 等 于 这 弧 段 的 长 度 , 0 0, 0. 当有向弧段 的方向与曲线的正向一致时 相反时 M M s s     s s x x ( ) . 是 的 单 调 增 加 的 函 数 下 面 求 s x ( ) . 的 导 数 及 微 分

一、弧微分设 = f(x)在(α,b)内有连续导数,其图形为 AByy= f(x)弧长 S= AM = s(x)BMMM'AsMM'AxMM'△xMM" /(Ax)? +(Ay)axLbxMM'△xx+△xMM'MM'?+lim=±1MM'AX-0MM'= /1+()2: s(x)= limAx-0Ax

一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s  A M  s( x) x s   M M M M    x M M    M M M M    x x y      2 2 ( ) ( ) M M M M     2 1 ( ) x y    x s s x x       0 ( ) lim 2  1  ( y ) x O y  f ( x) A B a b x y x M x  x M  y lim 1 0       M M M M x

s(x)= /1+(y)2: ds= /1+(y)?dx 或 ds = /(dx)? +(dy)x =p(t)福若曲线由参数方程表示y=y(t)则弧长微分公式为 ds=Vo"(t)+y"2(t)d tds =|MT几何意义：Idy= /(dx) + (dy)?VdxQxx+dxx

则弧长微分公式为 2 2 d ( ) ( ) d s   φ   t ψ t t ds 1 ( y ) dx 2     或 2 2 ds  ( dx)  ( dy) O x  dx dx x y x M dy T  几何意义: ds  MT 2 2   ( ) ( ) . d d x y 若曲线由参数方程表示: ( ) ( ) x t y t    

二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。Na2AaMAS,AS2M2SLASMAAa转角相同弧段越弧段长度相同转角越大弯曲程度越大短弯曲程度越大

二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 Δα2 M2 Δ 2 S Δ 1 S M M Δ 1 S Δ 2 S N N Δα 弧段长度相同转角 越大弯曲程度越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 Δα1

二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段，其长为△s，对应切线转角为△α，定义弧段△s上的平均曲率NaKMMAsAo点M处的曲率da10K = limA5-0注意：直线上任意点处的曲率为0！

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线  , 定义 弧段 s 上的平均曲率 s K      M M  s 点 M 处的曲率 s K s       0 lim ds d  注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为

例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率解：如图所示，VAs=RAααAsRAaK = limRASA5-0可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害：R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s  R s K s        0 lim R 1  可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .  s R M M  

曲率K的计算公式daK=设曲线弧 y=(x)二阶可导,则由ds元tanα=y’（设-得α = arctan ydxdα= (arctan y')'dx.1 +y又(ds =/1+ y'2 dxy"K=故曲率计算公式为(1 + y"2)%当|'|<<1时，有曲率近似计算公式 |

当 y    1时 , 有曲率近似计算公式 tan  y  ) 2 π 2 π (设     得   arctan y  d  (arctan y ) d x 故曲率计算公式为 s K d d  2 3 (1 ) 2 y y K     K  y  又 曲率K 的计算公式 设曲线弧 y  f ( x) 二阶可导, 则由

说明：x=p(t)给出,则(1)若曲线由参数方程y=y(t)p'(t)w"(t)-p"(t)w'(t)K[02(t) +y"2(t)](2)若曲线方程为x=β(y),则x"K=(1+x*2)%y"K=(1+ y*2)%

说明: (1) 若曲线由参数方程 ( ) ( ) x t y t        给出, 则 2 3 (1 ) 2 y y K     (2) 若曲线方程为 x   ( y ), 则 2 3 (1 ) 2 x x K     3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] φ t ψ t φ t ψ t K φ t ψ t         

例2.抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大？解y'=2ax+b,j"=2a,[2al:k=-[1 +(2ax+b) ]2b显然，当x时，k最大2ab?-4acb又：（为抛物线的顶点2a4a：抛物线在顶点处的曲率最大

例2. 2 抛 物 线 y a x b x c    上 哪 一 点 的 曲 率 最 大 ? 解 y ax b    2 , y a   2 , 3 2 2 2 . [1 (2 ) ] a k ax b     显然, , 2 当 时 b x a   k最大. 2 4 ( , ) , 2 4 又 为抛物线的顶点 b b ac a a    抛物线在顶点处的曲率最大