《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-8 函数的连续性与间断点

第八节函数的连续性间断点函数连续性的定义函数的间断点F

二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 函数的连续性与间断点

一、函数连续性的定义1.函数的增量设函数f(x)在x.的某一个邻域内有定义，x为该邻域内一点,让△r=x-Xo，称为自变量在点x的增量y= f(x))福XXX

一、 函数连续性的定义 1. 函数的增量 0 0 0 ( ) , , , Δ . 设函数 在 的某一个邻域内有定义 为该邻域内 一点 让 x x x 称为自变量在点 的增量 f x x x x    x y 0 0 x x y f x  ( ) Δx

说明：1．△x是一个整体不可分割的记号2.△可正可负，可大可小3.如果让y=f(x)在x.点获得一个增量△x则可以确定该领域内一点x=x+△xy= f(x)XoXoxxx

x y 0 0 x x y f x  ( ) Δx 说明： 1. Δx是一个整体不可分割的记号. 2. Δx可正可负,可大可小. 0 0 ( ) Δ Δ . 3. 如果让 在 点获得一个增量 ， 则可以确定该领域内一点 y f x x x x x x    x y 0 0 x x x 0 Δ y f x  ( ) Δx

当自变量x在这邻域内从x变到x。+△x时，相应的函数值，从f(x）变到f(x+△x），因此函数值或因变量f(x）的对应增量为Ay=f(x+△x)-f(xo)称为函数的增量yy= f(x)f(xo+Ax)f(x)1XoXo+△xx

x y 0 0 x x x 0 Δ y f x  ( ) Δx 因此函数值或因变量 ( )的 对应增量为 f x ( ) 0 f x ( Δ ) 0 f x x + 0 0 0 0 Δ ( ) ( Δ ) 当自变量 在这邻域内从 变到 时，相应的函数值, 从 变到 ， x x x x f x f x x   Δ 0 0 y f x x f x    ( Δ ) ( ). 称为函数的增量. Δy   

2.连续的定义定义1设函数y=f(x)在点x的某一领域内有定义，如果lim Ay= lim[f(x +△x)- f(xo)]= 0,4x->0Ar那么就称函数y=f(x）在点x连续设x=x+△x，则当△x→0就是x→X.又Ay= f(x +△x)-f(xo) =f(x)-f(x)即f(x)= f(xo)+Ay,可见Ay→0等价于f(x)→f(x），于是

2. 连续的定义   0 0 0 Δ 0 Δ 0 ( ) lim Δ lim ( Δ ) ( ) 0, 定义1 设函数 在点 的某一领域内有定义，如果 x x y f x x y f x x f x        0 那么就称函数y f x x  ( )在点 连续. 设x x x x x x     0 0 Δ ，则当Δ 0 . 就是 又 Δ 0 0 y f x x f x    ( Δ ) ( ) 0 =f x f x ( ) ( ),  即 0 f x f x y ( ) ( )  Δ , Δ 0 可见 y f x f x   0 ( ) ( ) 等价于 ，于是

定义2设函数y=f(x)在点x的某一领域内有定义，如果lim f(x)= f(x),X-Xo那么就称函数y=f(x）在点x连续说明：1.f(x)在x点处的极限值等于函数值，就连续2. 左连续：limf(x)=f(x)=f(x)X-Xo右连续：limf(x)=f(x）=f(xo）X-→Xo

0 0 0 ( ) lim ( ) ( ), 定义2 设函数 在点 的某一领域内有定义，如果 x x y f x x f x f x    0 那么就称函数y f x x  ( )在点 连续. 说明： 0 1. f x x ( )在 点处的极限值等于函数值，就连续。 0 0 lim ( ) ( ) ( ), lim ( ) ( ) ( ), - 0 + 0 - 0 + 0 2. 左连续： 右连续： x x x x f x f x f x f x f x f x      

x-1,x<0;如 =f(x)= x≥0.x+1,Xf(0-)= -1, f(0+)=1, f(0)=1: f(0-)± f(O), f(0+) = f(O)故y=f(x)在x=0处右连续，而不左连续

如 1, 0; ( ) 1, 0. x x y f x x x          x y O  1 (0 )   1 ,  f f (0 ) 1,   f (0) 1,  f f (0 ) (0),    (0 ) (0).  f f  故y f x x   ( ) 0 在 处右连续，而不左连续

若f(x)在某区间上每一点都连续，则称它在该区间上连续，或称它为该区间上的连续函数在闭区间[a，b]上的连续函数的集合记作C[a，b]例如, P(x)=ao +ajx+..+anxn（有理整函数）在（-8,+8)上连续P(x)又如，有理分式函数R(x)二(x)在其定义域内连续只要 Q(xo)±0,都有 lim R(x)= R(xo)x-→xo

( , ), lim ( ) ( ) 0 0 0 x P x P x x x         若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C [ a , b ]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0 , Q x0  都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x  

例.证明函数y=sinx在(-80，+8o)内连续证 VxE(-00, +00)△y= sin(x+△x)-sin x =2sincos(x+[4y = 2 sin cos(x + )△x-00≤21=|△xlim △y = 0即△x-0这说明y=sinx在（-o0，+o)内连续同样可证：函数=cosx在(00,+8o)内连续

例. 证明函数 在 内连续 . 证: x  (  ,   )  y  sin( x   x)  sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x       x x  0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0

二、 函数的间断点设f(x)在点x。的某去心邻域内有定义，则下列情形之一，函数f(x）在点x不连续(1）函数f(x）在x无定义；(2)函数 f(x)在 xo虽有定义,但 lim f(x)不存在;x→Xo(3)函数f(x)在 xo 虽有定义,且 lim f(x)存在，但x-→xolim f(x)± f(xo)X→Xo这样的点X.称为间断点

在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x   不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一, 函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ;