《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-1 映射与函数

第一节映射与函数一、映射二、 函数

二、 函数 一 、映射 第一节 映射与函数

二、映射>定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称为从X到Y的映射，记作：y=f(x)X原像像定义域值域R,=f(X)D,=X

一、映射 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x) X Y x y f 原像 像 定义域 值域

·注映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则：(1)映射的像唯一，但原像不一定唯一；(2)映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称(3)X数集Y非空集XX上的泛函非空集X非空集XX上的变换实数集YX上的函数实数集X

注 （1） 映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称 非空集X 数集Y 非空集X X上的变换 非空集X 实数集X X上的函数 实数集Y f X上的泛函 X Y

逆映射>满射、单射和双射设是从集合X到集合Y的映射X

逆映射 设f是从集合X到集合Y的映射 满射、单射和双射 X Y f

逆映射>满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射若R，=Y，即Y中的任一元素都是X中某元素的像，则称为X到Y的满射若对X中任意两个不同的元素x，≠x，它们的像f(x）≠f（x）则称为X到Y的单射Y=f(X)X

逆映射 设f是从集合X到集合Y的映射 满射、单射和双射 若 即Y中的任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y的满射 若对X中任意两个不同的元素 它们的像 则称f为X到Y的单射 X Y f Y=f (X)

逆映射>满射、单射和双射若是从集合X到集合Y的映射若R，=Y，即Y中的任一元素y都是X中某元素的像，则称为X到Y上的映射或满射若对X中任意两个不同的元素x≠x，它们的像fx）≠f（x）则称为X到Y的单射若映射f既是满射又是单射X则称f为一一映射或双射

逆映射 若f是从集合X到集合Y的映射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. 满射、单射和双射 若 即Y中的任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素 它们的像 则称f为X到Y的单射 X Y f

逆映射>满射、单射和双射若是从集合X到集合Y的映射若R，=Y，即Y中的任一元素y都是X中某元素的像，则称为X到Y上的映射或满射若对X中任意两个不同的元素x，≠x，它们的像fx）￥f（x）则称为X到Y的单射若映射f既是满射又是单射X则称f为一一映射或双射

逆映射 若f是从集合X到集合Y的映射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. 满射、单射和双射 若 即Y中的任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素 它们的像 则称f为X到Y的单射 X f

>逆映射若f是从X到Y的单射，可定义一个从R，到X的新映射ggR,→X，对每个yER，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y这个映射g称为的逆映射，记作f-1·注(1）只有单射才存在逆映射(2)逆映射f-1的定义域 D,-=R,值域R,-=X

逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 到X的新映射g 对每个 规定 这x满足 这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射 的定义域 值域

复合映射>定义设有两个映射gX→Y，f:Y→Z,其中YcY则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个xEX映成fg(x)eZ，这个对应法则确定了一个从X到z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作f。gYY即：fog:X→Z9U=ger(fog)(x)= f[g(x)],xe XZXy=f(u)·注roogEf [g(x)(1）映射g和f构成复合映射的条件：R，CD（2）映射g和f的复合是有顺序的

复合映射 定义 设有两个映射 其中 则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个 映成 这个对应法则确定了一个从X到Z的 映射，这个映射称为映射g和f 构成的复合映射，记作 即： 注 (1) 映射g和f 构成复合映射的条件： (2) 映射g和f 的复合是有顺序的 Y1

>例题例1写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题（1）映射f是否单射？是否满射？（2）若存在逆映射，求出逆映射1.设f:R→R,对每个xER,f(x)=x2．设映射f将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上3. 设 :[-量]→[-1, 1],对每个[-]f(x)=sinx

例题 设 对每个 映射f 是否单射？是否满射？ 例1 设映射f 将平面上的一个圆心在原点单位圆周上的点 投影到x轴的区间 上 (1) 3. 写出下列映射的定义域和值域，并回答如下问题： (2) 若存在逆映射，求出逆映射 1. 2. 设 对每个