《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-10 闭区间上连续函数的性质

第十节闲区间上连续函数的性质一、最大值最小值定理二、介值定理

第十节 一、最大值最小值定理 二、介值定理 闭区间上连续函数的性质

一、最大值最小值定理定义：对于在区间I上有定义的函数f(x）如果有xEI，使得对于任一xEI都有f(x)≤ f(xo)(f(x)≥ f(x))则称f(x）是函数f(x）在区间I上的最大(小）值例如，J=1+sin x，在[0,2]上，ymax =2,Ymin =0,)=二，在(0,1)上,即无最大值也无最小值

一、最大值最小值定理 定义: 0 0 0 0 ( ), , ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) . 对于在区间 上有定义的函数 如果有 使得对于任一 都有 则称 是函数 在区间 上的最大 小 值 I f x x I x I f x f x f x f x f x f x I     例如, y x  1 sin , 在[0,2 ] , π 上 max y  2, min y  0; 1 y , x  在(0,1) , 上 即无最大值也无最小值

定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值即: 设f(x)eC[a,b],则35i,52 E[a,b],使f(Ei)= min, f(x)a≤x≤bf(2)= max f(x)a≤x≤bOaEbx注意：若函数在开区间上连续，或在闭区间内有间断点，结论不一定成立

注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 f ( x)  C [ a , b ] , 1  2 则 , [ , ] , 1 2     a b 使 ( ) min ( ) 1 f f x a  x  b   ( ) max ( ) 2 f f x a  x  b   值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 点 , x y a b y  f ( x) O

例如,=x,xE(O,1)无最大值和最小值又如，-x+1,0≤x<lf(x)=1 ,x=l-x+3,1<x≤2也无最大值和最小值

例如, 无最大值和最小值 2 2 也无最大值和最小值 又如, x y 1 1 O x y O 1 1

推论在闭区间上连续的函数在该区间上有界证：设f(x)EC[a,bl，由定理1可知有M= max f(x), m= min f(x)Jy=f(x)xe[a,b]xe[a,b]M故Vxe[a,bl,有m≤f(x)≤M,m因此f(x)在[a,b]上有界Oasi2bx二、介值定理定义：如果x使f(x)=0，则x称为函数f(x）的零点

1  2 m M 二、介值定理 由定理 1 可知有 max ( ) , [ , ] M f x x a b  min ( ) [ , ] m f x x a b  证: 设 上有界 . 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b x y a y  f ( x) O 定义: 0 0 0 ( ) 0, ( ) . 如果 使 则 称为函数 的零点 x f x x f x 

V定理2.（零点定理）f(x)EC[a,bly= f(x)一√至少有一点且f(a)f(b)<0abxE(a,b), 使f()=0.定理3.（介值定理）设f(x)EC[a,bl，且f(a)=A，f(b)=B,A≠B，则对A与B之间的任一数C,至少有一点 EE(a,b),使f(E)=C.yy= f(x)证：作辅助函数(x)=f(x)-CBC则p(x)eC[a,b],且Aβ(a)β(b)=(A- C)(B-C)<0bxOa由零点定理知,至少有一点e(αa,b),使β()=0,即f()=C

定理2. ( 零点定理 ) 且 至少有一点 使  x y a b y  f ( x) O 定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x)  C [ a , b ] , 且 f (a)  A, f (b)  B , A  B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数  ( x)  f ( x)  C 则  ( x)  C [ a , b ] , 且  (a)  (b)  ( A  C) (B  C) 由零点定理知, 至少有一点 使 C  使 至少有 x A b y a y  f ( x) B O 即

推论：在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值例1.证明方程x3-4x2+1=0在区间（0,1)内至少有一个根.证:显然 f(x)= x3 -4x2+1eC[0,1],又f(0)=1>0,f(I)=-2<0故据零点定理，至少存在一点三E（O,1),使f（)=0，即53-452 +1=0

推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 . 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 在区间 内至少有

例2.设f(x)eC[0,2a],且f(O)= f(2a),证明至少有一点E[0,a)使f()= f(+a)证 令F(x)= f(x)-f(x+a),则F(x)EC[0,a)且F(O)= f(O)-f(a),F(a) = f(a)- f(2a)= f(a)-f(O)若f()=f(a),则=0即为所求；若f(O)≠f(a),则F(O)·F(a)<0,由零点定理知：至少有一点=E（O,a)使F)=0,即f()=f(+a)

例2. ( ) [0, 2 ], (0) (2 ), [0, ) ( ) ( ). 设 且 证明至少有一点 使 f x C a f f a ξ a f ξ f ξ a      证 令F x f x f x a ( ) ( ) ( ),    则F x C a ( ) [0, ].  且F f f a (0) (0) ( ),   F a f a f a f a f ( ) ( ) (2 ) ( ) (0)     若f f a (0) ( ),  则ξ  0即为所求； 若f f a (0) ( )  ，则F F a (0) ( ) 0   ， 由零点定理知: 至少有一点ξ   (0, ) ( ) 0 a F 使 ξ ， 即f ( ) ( ). ξ   f ξ a

说明：1.方程f(x)=0的根←函数f(x)的零点2.有关闭区间上连续函数命题的证明方法：(1）直接法：利用四个定理直接证明。(2）间接法：先作辅助函数，再利用四个定理证明辅助函数的作法：(1)将结论中的(或x或c)改写成x(2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x）则F(x）即为所需要的辅助函数

说明: 1. 方程 f(x)=0的根 函数 f(x)的零点 2. 有关闭区间上连续函数命题的证明方法: (1) 直接法：利用四个定理直接证明。 (2) 间接法：先作辅助函数，再利用四个定理证明。 辅助函数的作法： (1) 将结论中的ξ(或x0或c)改写成x， (2) 移项使右边为0，令左边的式子为F(x) 则F(x)即为所需要的辅助函数。 

内容小结设 f(x)eC[a,b],则1.f(x)在[a,b]上有界2.f(x)在[a,b]上达到最大值与最小值：3.f(x)在[a,b]上可取最大与最小值之间的任何值；4. 当f(a)f(b)<0 时,必存在 E(a,b),使f()=0

内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 必存在 使 上有界; 在 在