《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.6函数图形的描绘

第六节 西数图形的描绘渐近线R二、 图形描绘的步骤三、作图举例四、小结

第六节 函数图形的描绘 • 一、渐近线 • 二、图形描绘的步骤 • 三、作图举例 • 四、小结

渐近线一、回顾:定义：当曲线 y=f(x)上的一动点P沿着曲线移向无穷点时，如果点P到某定直线L的距离趋向于零，那么直线L就称为曲线y=f(x）的一条渐近线1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线)如果lim f(x) = 80 或 lim f(x)= 00x→xtx-→xo那么x=x，就是y=f(x)的一条铅直渐近线

定义: ( ) , , ( ) . y f x P P L L y f x = = 当曲线 上的一动点 沿着曲线 移向无穷点时 如果点 到某定直线 的距离 趋向于零 那么直线 就称为曲线 的 一条渐近线 1.铅直渐近线 ( ) 垂直于 x 轴的渐近线 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) . x x x x f x f x x x y f x → → + − =  =  = = 如果 或 那么 就是 的一条铅直渐近线 一、回顾：渐近线

1例如y(x + 2)(x -3)212-2有铅直渐近线两条：x=-2,，x=3

例如 , ( 2)( 3) 1 + − = x x y 有铅直渐近线两条: x = −2, x = 3

（平行于x轴的渐近线）2.水平渐近线如果lim f(x)=c或 lim f(x)=c (c为常数)x→+00x→-80那么y=c就是y=f(x)的一条水平渐近线例如y=arctanx,0.51010-15-5515-0.1元元有水平渐近线两条：J=V=22

2.水平渐近线 ( ) 平行于 x 轴的渐近线 lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) . x x f x c f x c c y c y f x →+ →− = = = = 如果 或 为常数 那么 就是 的一条水平渐近线 例如 y = arctan x, 有水平渐近线两条: . 2 , 2  = −  y = y

3.斜渐近线如果lim [f(x)-(kx + b)]= 0x-→+或 lim[f(x)-(kx+b)]=0 (a,b为常数)x→-80那么y=kx+b就是y=f(x)的一条斜渐近线斜渐近线求法：f(x)lim[f(x)- kx] = b.lim=k,X-8x→00x那么y=kx+b就是曲线y=f(x)的一条斜渐近线

3.斜渐近线 lim [ ( ) ( )] 0 lim [ ( ) ( )] 0 ( , ) ( ) . x x f x kx b f x kx b a b y kx b y f x →+ →− − + = − + = = + = 如果 或 为常数 那么 就是 的一条斜渐近线 斜渐近线求法: ( ) lim , x f x k →  x = lim[ ( ) ] . x f x kx b →  − = 那么 y kx b y f x = + = 就是曲线 ( ) . 的一条斜渐近线

注意：如果f(x)不存在;(1) limx-→00xf(x)= k 存在,但 lim[f(x)- kx] 不存在,(2) limX-00xx→80可以断定 =f(x)不存在斜渐近线

注意: ( ) (1) lim ; ( ) (2) lim , lim[ ( ) ] , ( ) . x x x f x x f x k f x kx x y f x →  → → = − = 如果 不存在 存在 但 不存在 可以断定 不存在斜渐近线

图形描绘的步骤二、利用函数特性描绘函数图形第一步：确定函数y=f(x)的定义域，对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论，求出函数的一阶导数f(x)和二阶导数f"(x)第二步：求出方程f(x)=0和f"(x)=0在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分称几个部分

利用函数特性描绘函数图形. 二、图形描绘的步骤 ( ) ( ) ( ). y f x f x f x =   确定函数 的定义域，对函数进行 奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论， 求出函数的一阶导数 和二阶导数 第一步： 求出方程f x f x   ( ) 0 ( ) 0 = = 和 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导 数不存在的点把函数的定义域划分称几 第二步： 个部分

第三步：确定在这些部分区间内f'(x)和f"(x)的符号,并由此确定函数的单调性和凹凸性，极值点和拐点第四步：确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势：第五步：描出方程f'(x)=0和f"(x)=0的根对应的曲线上的点，有时还需补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形

第四步：确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜 渐近线以及其他变化趋势; ( ) ( ) , . 确定在这些部分区间内f x f x   和 的 符号 并由此确定函数的单调性和凹凸性，极 值点 第 步： 和拐点 三 描出方程f x f x   ( ) 0 ( ) 0 = = 和 的根对 应的曲线上的点，有时还需补充一些点，再 综合前四步讨论的结果画出函数 第五步： 的图形

三、作图举例例1 作函数 f(x)=x -x2-x+1 的图形解D:(-o0,+oo)，无奇偶性及周期性,f"(x) = 2(3x -1)f'(x) = (3x +1)(x -1),1令 f'(x)= 0,得驻点x =1.x3得特殊点x=令 f"(x) = 0,3，B(0,1),补充点：A(-1,0),列表确定函数升降区间，凹凸区间及极值点与拐点：

例1 ( ) 1 . 作函数 f x = x 3 x 2 − x + 的图形 解 D :(−,+), 无奇偶性及周期性. f (x) = (3x + 1)(x − 1), f (x) = 2(3x − 1). 令 f (x) = 0, , 1. 3 1 得驻点 x = − x = 令 f (x) = 0, . 3 1 得特殊点 x = 补充点: A (−1,0), B (0,1), ). 8 5 , 2 3 C ( 列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与 拐点: 三、作图举例

(-8(是)(G,l)x1(1,+)f'(x)++00f"(x)++0极大值极小值拐点312f(x)L0ytB (0,1)堂CA(-1,0)I10x33

x ) 3 1 (−,− ) (1,+) 3 1 , 3 1 (− 3 1 − ,1) 3 1 ( + − + 0 3 1 1 − − + − + 极大值 拐点 27 32 ) 27 16 , 3 1 ( 0 f (x) f (x) f (x) 极小值 0 x yo A (−1,0) B (0,1) ) 8 5 , 2 3 C ( − 1 1 3 1 3 1 − 0