《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章_7.8常系数二阶非齐次线性微分方程

第·节常系数非齐次线性微分方程型一、f(x)=ePm(x)型二、f(x) =e[P(x)cosax + P,(x)sin ax]三、小结

第八节 常系数非齐次线性微分方程 • 一、 型 • 二、 型 • 三、小结 f (x) e P (x) m x  f x e P x x P x x l n x    ( )  ( )cos  ( )sin

二阶常系数线性非齐次微分方程：y"+py'+qy=f(x)（p,q为常数)1根据解的结构定理，其通解为y=Y+x*齐次方程通解非齐次方程特解求特解的方法一待定系数法根据f(α)的特殊形式，给出特解*的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数

y p y q y f x      ( ) ( , ) p q 为常数 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y Y y   * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 给出特解 y*

本节只介绍取两种特殊形式时微分方程的解这两种形式分别是：(1)f(x)= Pm(x)eax,其中a是常数，Pm(x)是x的一个m次多项式：P.(x) = a,x" +a,x"- +..+a.-x+ am其中(2)f(x) = eax[P(x)cos ox + P,(x)sin oxl,、の是常数，P(x)P,(x)分别是x的I次和n次的多项式，其中一个可以为零

1 0 1 1 (1) ( ) ( ) , ( ) ( ) x m m m m m m m f x P x e P x x m P x a x a x a x a           其中 是常数， 是 的一个 次多项式； 本节只介绍取两种特殊形式时微分方程的解， 这两种形式分别是： (2) ( ) [ ( )cos ( )sin ] ( ) ( ) x l n l n f x e P x x P x x P x P x x l n        ，其中 、 是常数， 、 分别是 的 次和 次 的多项式，其中一个可以为零

一、f(x)=eaxP.(x)型当f(x)=exPm(x)时,方程左边是函数的导数的和,由指数函数的性质，可以猜想，方程的特解也应具有这种形式设非齐方程特解为 y*=Q(x)ex 代入原方程y*" =eax[a Q(x)+Q'(x)]y*" = eax[a? Q(x)+2aQ'(x)+Q" (x)]Q"(x)+(2a+ p)Q'(x)+(a? + pa +q)Q(x) = Pm(x)

( ) ( ) x m f x e P x  一 、  型 当f(x)e xPm(x)时 方程左边是函数的导数的和， 由指数函数的性质，可以猜想 方程的特解也应 具有这种形式. 设非齐方程特解为 * ( ) x y Q x e  代入原方程 * [ ( ) ( )] x y e Q x Q x       2 * [ ( ) 2 ( ) ( )] x y e Q x Q x Q x         2 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x p Q x p q Q x P x    m        

(1)若a不是特征方程r2+pr+=0的根：则?+pa+q0,可设 Q(x)= Qm(x), y* = Qm(x)e;(2)若是特征方程r2+pr+q=0的单根则2+p+=0, 2+p0,可设 Q(x) = xQm(x), y* = xQm(x)ex;

2 (1) 0 若不是特征方程r pr q +   的根， 2 则     p q 0,2 (2) 0 若是特征方程r pr q +   的单根， 2 则     p q 0, 2  p  0, ( ) ( ), * ( ) ; m x m Q x x Q y e Q x  可设   ( ) ( ), * ( ) ;x m m Q xQ x x y xQ x e  可设  

(3)若是特征方程r2+pr+g=0的重根2 +pa+q=0,22+ p=0,可设 Q(x) = xm(x), y* = x'Qm(x)eax综上讨论0入不是根设 y*=x*exQm(x), k=^1入是单根，入是重根2>注意：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）：

2 (3) 0 若是特征方程r pr q +   的重根， 0, 2   p  q  2  p  0, 综上讨论 注意：上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）. 2 2 ( ) ( ), * ( ) . x m m Q x x Q x y x Q x e 可设   * ( ) , k x m y x e Q x  设  0 1 , 2 k          不是根 是单根 是重根

例1.求方程"-2y'-3y=3x+1的一个特解解：本题 =0，而特征方程为 r2-2r-3=0,=0 不是特征方程的根设所求特解为y*=b,x+b,代入方程：-3b,x -3b, -2b, = 3x +1比较系数，得[-3b, = 3b,=-1, b,=3-2b, -3b, =1于是所求特解为*=一x+3

例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 2 r r    2 3 0 , 不是特征方程的根 . 设所求特解为 0 1 y b x b * ,   代入方程 : 0 1 0      3 3 2 3 1 b x b b x 比较系数, 得    0   3 3 b 0 1    2 3 1 b b 0 1 1 1 , 3 b b    于是所求特解为 1 * . 3 y x      0   0 , 求方程 y y y x       2 3 3 1

例2求方程y"-3y'+2y=xe2×的通解特征方程 r2-3r+2=0,解r=1, r, =2,特征根对应齐次方程通解 Y=C,e*+C,e2,： 入= 2 是单根，设 j*= x(Ax+ B)e2xA=代入方程,得2Ax+B+2A=x2B=-1于是 y*= x(_x-1)e2xx-1)e2x原方程通解为 y=Ce*+Cze2x+x(

3 2 . 求方程 y  y  y  xe 2 x 的通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0, 2 r  r   特征根 r1  1，r2  2， , 2 1 2 x x Y  C e  C e   2 是单根， 2 * ( ) , x 设 y x Ax B e   代入方程, 得 2Ax B  2A  x , 1 2 1         B A 1 2 * ( 1) 2 x 于是 y x x e   原方程通解为 1) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y  C e  C e  x x  e 例2

二、 f(x)= exx[P(x)cos ox + P,(x)sin ox] 型f(x)=e[P cosax+P,sin ax]利用欧拉公式+e-iaxeiariax-iaxeD= e"[P,+ P.n22iPP,PP(a+io)x,(a-iw)xnee2i2i22= P(x)e(a+i0)x + P(x)e(a-i0)x对于 y" + py' + qy = P(x)e(a+io)x设其特解为y,*=x*Qm(x)e(a+io)x

( ) [ ( )cos ( )sin ] x l n f x e P x x P x x  二、     型 f (x) e [P cos x P sin x] l n x      ] 2 2 [ i e e P e e e P i x i x n i x i x l x            l n i x l n i x e i P P e i P P ( ) ( ) ) 2 2 ) ( 2 2 (         ( ) ( ) , ( i ) x ( i ) x P x e P x e       ( ) ( ) , i x y py qy P x e    对于      ( ) 1* ( ) , k i x m y x Q x e    设其特解为  利用欧拉公式

则对于 y" + py' + qy = P(x)e(a-ia)x则可以设其特解为y,*=y *=x*α (x)e(a-io)x:. y* = x*eax[Qm(x)eiox +@.(x)e-iox]= x*eax[R( (x)cosox + R(2'(x)sin oxl,其中 Rl'(x),R(2)(x)是m次多项式，m= max(l,n)入±i不是根k =入土iの是单根>注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程

( ) ( ) , i x y py qy P x e    则对于      ( ) 2 1 * * ( ) . k i x m y y x Q x e    则可以设其特解为   * [ ( ) ( ) ] k x i x i x m m y x e Q x e Q x e        (1) (2) [ ( )cos ( )sin ], k x m m x e R x x R x x        (1) (2) ( ), ( ) max , 其中 R x R x m m l n m m 是 次多项式，  0 , 1 i k i           不是根 是单根 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程