《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.7无穷小的比较

第七节无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小代换三、小结 思考题

第七节 无穷小的比较 • 一、无穷小的比较 • 二、等价无穷小代换 • 三、小结 思考题

一、无穷小的比较例如，当x →0时,x,x2,sin x,x2 sin=都是无穷小xlim= 0,x比3x要快得多；观察各极限3xx→0sin xsinx与x大致相同：limx-→0x2sinx一x0lim lim sin一不可比不存在.型x→0X→0x0“快慢”极限不同，反映了趋向于零的程度不同

一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 0 x x x sin lim 0 2 2 0 1 sin lim x x x x . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x  x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比.  0,  1, x x 1 lim sin 0  不存在. 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0

定义：设α,β是同一过程中的两个无穷小,且α≠0.β=0，就说β是比α高阶的无穷小，(1) 如果 limα记作β=0(α);β(2) 如果 lim=80，就说β是比α低阶的无穷小。αβ(3) 如果 lim=C±0,就说β与α是同阶的无穷小：αB=1,则称β与α是等价的无穷小;特殊地，如果limα记作α~β;

(1) l ) im 0 , o(         如果 ，就说 是比 高阶的无 记 穷小 作 ； 定义: 设   , , 0. 是同一过程中的两个无穷小 且  (3) lim 0, C ;     如果   就说 与 是同阶的无穷小 lim 1, ; ~ ;       特殊地，如果  则称 与 是等价的无穷小 记作 (2) lim     如果  ，就说 是比 低阶的无穷小．

β(4) 如果 lim=C±0,k>0,就说β是α的k阶的Qt无穷小。例如：lim= 0,即 x2 = 0(3x)(x → 0)3xx-→0当x→0时，x2是比3x高阶的无穷小；sinxlim1,即sinx~x(x→0)x-→0x当x→0时，sinx与x是等价无穷小

(4) lim 0 0, . , k C k k     如果    就说 是 阶的 无穷小 的 2 0 lim 0 x 3 x  x  ， 0 sin lim 1 x x  x  ， 2   当 x x x 0 3 ; 时， 是比 高阶的无穷小   当 x x x 0 sin 时， 与 是等价无穷小． 例如:

例1 证明：当x→0时,tanx－sinx为x的三阶无穷小tanx -sinx解.·limtsx-01sin x1-cosxlim一2x-0xcos x1sinx-cosx1= limlimlim2x-→0x-0x-→ocosxx.tanx一sinx为x的三阶无穷小

例 1 证 明:当x  0时,tan x  sin x为x的三阶无穷小. 解 3 0 tan sin limx x x  x ) sin 1 cos cos1 lim( 2 0 x x x x x x      , 21  tan x  sin x为x的三阶无穷小.2 0 0 0 1 cos lim sin lim cos1 lim x x x x x x x x       

定理1β与α是等价无穷小的的充分必要条件为β=α+o(α).称α是β 的主部证必要性设α~β,ββ-α-1=0,limlimααβ-α=o(α), 即β=α+o(α)充分性设β=α+o(α)α+ 0(α) = lim( 1 + 0(α)) ==1limlimαααα~β

( ) 1 o .          定理 与 是等价无穷小的的充分必要条件 为 称 是 的主部． 证 必要性 设  ~ ， lim lim  1         0，      o()，即    o()． 充分性 设     o()．        ( ) lim lim o （１＋ ）    ( ) lim o  1，   ~ ．

意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如，当x→0时，sinx～x，1-cosx2sin x = x + o(x),1=2x2 + 0(x2).1-cosx=2y=1-cosx3常用等价无穷小：当x→0时x ~ sinx ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ In(1+ x),(1+x)"-1~ax (a±0)x~e-1, 1-cosx~2

意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, sin x  x  o(x), ( ). 2 1 1 cos 2 2  x  x  o x 当x  0时, y  1  cos x 2 2 1 y  x 常用等价无穷小: 当x  0时, , (1 ) 1 ~ ( 0) 2 1 ~ 1, 1 cos ~ ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1 ) 2       x e x x x ax a x x x x x x x a . 2 1 sin ~ , 1 cos ~ 2 x x  x x

et例2 求 limx→0 x解 令e*-l=u，即 x = In(1 + u),则当x→0时,有u→0,1et-1ulimlimlim-1u-→0x-→0u-→0In(1 + u)xIn(1 + u)"111=1Inelim In(1 + u)"u-→0即，当x→0时，x～ln(1+x),x～e*-l

解 0 0 1 lim lim ln(1 ) x x u e u   x u    0 1 2 lim . x x e  x  例 求 e 1 u, x 令   即 x  ln(1  u), 则当 x  0 时,有 u  0, u u u 1 0 ln(1 ) 1 lim    u u u 1 0 limln(1 ) 1    lne 1   1.  0 ~ ln(1  ), ~  1. x 即，当 x 时 ，x x x e

例3 证明：当x→0时,/1+x-1～1xnr/1+x -1证：lim1xx-0a" - b" = (a-b)(an-1 +an-2b+...+bn-1(/1+x)"-1= limx-→0x[("/1+x )"-+ +(/1+x )"- +..+1]n=1: 当x→0时,/1+x-1~=xn

证: 1 0 1 1 lim n x n x  x           1 2 0 1 1 1 lim 1 1 1 n n n n x n n n x x x x            L  1 1 0 , 1 1 n x x x n     当 时 : 1 2 1 ( )( ) n n n n n a b a b a a b b          L 1 3 0 , 1 1 n x x x n 例 证明：当    时

等价无穷小代换二、定理2(等价无穷小代换定理)βββ存在,则 lim设α~α',β~β'且limP= lima"ααβββα证limlim(β'αααβββ'α'limlimlimlim二β'Qα'α

二、等价无穷小代换 定理2(等价无穷小代换定理) ~ , ~ lim , lim lim .                  设 且 存在 则 证   lim lim( )                   lim lim lim lim .   