《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）3.5 函数的极值与最大值最小值

第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法最大值最小值问题二

第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题

第三章微分中值定理与导数的应用一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义设函数f(x）在点xo的某邻域U(xo）内有定义如果对于去心邻域U(xo）内的任一x，有x0f(x) f(xo))Xo定义则称f(xo)是函数f(x)的一个极大值(或极小值）V函数的极大值与极小值统称为极值使函数取得极值的点Xo（自变量）称为极值点0Xo第五节承数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、函数的极值及其求法 函数的极大值与极小值统称为 1. 函数极值的定义 定义 极值. 使函数取得极值的点x0(自变量)称为 f(x) < f(x0) 极值点

第三章微分中值定理与导数的应用注由图可知，在一个区间内（1）函数的极值只是一点附近的最大值或最小值是局部性的（2)函数可能存在许多个极值极小值可能大于某个极大值则f（×)=0(3）若f(x）在Xo点取得极值，或f（X。）不存在未取得极值口1尖点：一阶导不存在驻点：y=f(x)一阶导数等于零的点1-口口口口4日日4x,口第五节函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 驻点： 一阶导数等 于零的点 注 未取得极值 尖点：一阶导不存在 (2)函数可能存在许多个极值极小值可能大 , 于某个极大值. ᵯ1 ᵯ2 ᵯ3 ᵯ4 ᵯ5 ᵯ6 ᵯ ᵯ ᵯ ᵯ ᵯ (1)函数的极值只是一点附近的最大值或最小值,是局部性的. (3)若f(x)在x0点取得极值, 则f ′ (x0) = 0 或f ′ (x0)不存在

第三章微分中值定理与导数的应用V（4）驻点或者不可导点，未必是极值点例如：+1. f(x) = x3, f'(0) = 3x2|x=0 = 0,可见×=0是驻点，但不是极值点.y2. f(x) = x,3x-01J-xf(0) = limlim82x-→0xx-00xx3=0为不可导不是极值点.可见x问题：如何判断驻点和不可导点是不是极值点呢？第五节函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 例如: （4）驻点或者不可导点, 未必是极值点. 可见 x = 0是驻点, 但不是极值点. 可见x = 0 为不可导点但不是极值点 , . 问题：如何判断驻点和不可导点是不是极值点呢？

第三章微分中值定理与导数的应用2.函数极值的求法定理1（必要条件设函数f(x)在xo处可导，且在xo处取得极值，则f(xo）=0.几何上（如下图）若Xo是连续函数f(x)单增单减的分界点，则Xo必为极值点xoxoox0totoXo40驻点情形不可导点情形第五节函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 几何上（如下图）, 2. 函数极值的求法 定理1 (必要条件 ) 若x0是连续函数f(x)单增单减的分界点, 则x0必为极值点

第三章微分中值定理与导数的应用定理2（第一充分条件极值第一判别法)设f(x)在xo点连续,且在xo的某去心邻域U(xo,)内可导(1)若x E (xo 一 S,xo)时, f(x)> 0,则f(x。)为极大值而xE(XoX+ )时, f'(x) 0,Xo(3)若xEU(xo,S)时,f'(x)的符号保持不变，则f(x。)不是极值自证第五节函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 定理2 (第一充分条件 ) 极值第一判别法 x0 x0 自证 f ′ (x) > 0, 而x ∈ (x0,x0 + δ)时, 则f(x0)为极大值. 而x ∈ (x0,x0 + δ)时, f ′ (x) > 0, 则ᵯ(ᵯ0)为极小值. 则f(x0)不是极值. + − − + 第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用

第三章微分中值定理与导数的应用求极值的步骤：(1) 求导数f(x);（2）求极值点的嫌疑点：驻点和不可导点；(3）检查f(x）在嫌疑点左右的正负号判断极值点；(4)求极值，VVX可可可可xxXoXoXoxXo+（是极值点情形）（不是极值点情形）第五节函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 x y O 求极值的步骤: (是极值点情形) (不是极值点情形) x y O x y O x y x0 x0 x0 O x0 + − − + + + − − (1) 求导数f ′ (x); (2) 求极值点的嫌疑点：驻点和不可导点; (3) 检查 f ′ (x) 在嫌疑点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值

第三章微分中值定理与导数的应用例1求函数f(x)=(x-4)/(x+1)2的极值解(1）f(x)在（-80,+80)内连续，除x=-1外处处可导5(x - 1)(2) f'(x) ==0,得x= 1.3x+1(3）得到极值的嫌疑点为：驻点x=1.不可导点x=-1(4）列表讨论1(- 1,1)x(-8,-1(1, + )f(x)+0+不可导f极小(1)f极大(-1)f(x)个个J=-3V4=0第五节函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 解 例1 = 0,得x = 1. (4) 列表讨论 不可导 x − 1 1 0 ( − ∞, − 1) ( − 1,1) (1, + ∞) f ′ (x) f(x) + ↑ − ↓ = 0 f极大( − 1) + ↑ f极小(1)

第三章微分中值定理与导数的应用对于驻点有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点定理3（第二充分条件）极值第二判别法设f(x)在Xo处具有二阶导数且f(X）=0,f(X。）≠0极大值(1)若f"(x）< 0,则f(xo)为+(2)若f"(xo） ≥ 0,则f(xo)为极小值第五节函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 极小值. − + 定理3 (第二充分条件) 极值第二判别法 设f(x)在x0处具有二阶导数且f ′ (x0) = 0, f ′ (x0) ≠ 0. 则f(x0)为 极大值. 则f(x0)为 第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用

第三章微分中值定理与导数的应用f'(x)f'(x) -f'(xo)证 f(xo)= limlimx-xoX-→Xo-xox-Xo极限的局部保号性(1) 若f"(xo) 0;当x<x<xo+8时,f(×)<0,由第一判别法知f(x)在,取极大值证毕(2）类似可证.第五节函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 证 极限的局部保号性 证毕 f ″ (x0) 存在ᵯ> 0, f ′ (x) > 0; f ′ (x) < 0, (2)￾类似可证. 由第一判别法知f(x)在ᵯ0取极大值