《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）2.1 导数概念

第一节导数概念一、引例导数的定义三由定义求导数举例四、导数的几何意义五、可导与连续的关系

第一节 导数概念 一、引例 三、由定义求导数举例 五、可导与连续的关系 二、导数的定义 四、导数的几何意义

第二章导数与积分一、引例1.变速直线运动的速度f(t)f(to)+S设描述质点运动位置的函数为tots=f(t)自由落体运动则to到t的平均速度为1s =t?f(t) -f(to)U:t-to口D = E(to+t口！而在t.时刻的瞬时速度为v= limü=gtof(t) -f(to)V = limt-tot-tot→to第一节导数概念

第一节  导数概念 第二章   导数与积分 一、引例 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 O S t0 t 自由落体运动 ᵮ0 ᵮ ᵮ s = 1 2ᵮt 2 t − t0 t − t0

第二章导数与积分2.曲线的切线曲线C：y=f(x）在P.点处的切线割线PP.的极限位置P.7y设Po(xo,yo),P(x,y)f(x)-f(xo)k割线x-xo口PP沿曲线C,Po，x—xocxO日f(x)-f(xo)= lim切线x-Xox-→0第一节导数概念

第一节  导数概念 第二章   导数与积分 2. 曲线的切线 ᵮ0 ᵮ O ᵮ x y C P 沿曲线C P0 , x→x0 , 设P￾0 (x0 , y0 )￾, P(x , y)

第二章导数与积分两个问题的共性：所求量为函数增量与自变量增量之比的极限f(x) -f(xo)f(t) - f(to)limlim瞬时速度X→x0x-Xot-toX~X0Ax = x - xof(x) -f(xo)lim切线斜率x-xox-xo△y=f(x) -f (xo)类似问题还有：加速度Ay变化率问题= lim4x-04x角速度f(x.+△x)-f(x)线密度= limAx4x→0第一节导数概念

第一节  导数概念 第二章   导数与积分 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 变 化 率 问 . 题 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限. 瞬时速度 切线斜率 两个问题的共性:

第二章导数与积分导数的定义1.函数在一点处的导数设函数y=f(x）在点x的某个邻域内有定义，当自变量x在定义x.处取得增量△x（点x+△x仍在该邻域内）时(1)因变量的增量 △y=f(x+△x）-f(xo)y_ f(xo + △x) -f(xo)(2)两增量的比值Ax△xAy(3)极限lim存在,4x-0△x则称函数y=f(x)在点x处可导,或在点x.导数存在第一节导数概念

第一节  导数概念 第二章   导数与积分 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数 定义 (3) 极限     (2) 两增量的比值  (1) 因变量的增量   存在

第二章导数与积分并称这个极限为函数y=f(x)在点xo处的导数，记为f'(xo),即Ayf(xo+x)-f(xo)limf'(xo) =limAx4x-0AxAx-0dydf(x)或也可记作y=Xo'x=xnx=xo'dxdx注关于导数的几点说明：式不存在时，则称f(x)在xo处不可导或导数不存在(1)当极限式的极限为o时，也称f(x)在xo处的导数为无穷大，特别地，当第一节导数概念

第一节  导数概念 第二章   导数与积分 注 关于导数的几点说明： 1 也可记作 (1)当极限 1 1 记为 即 式不存在时, 特别地, 当 式的极限为 ∞时

第二章导数与积分(2)在利用导数的定义证题或计算时，要注意导数定义可以写成多种形式：f(xo+△x)-f(xo)f'(xo) = limAx4x-0f(xo+h) - f(xo)f'(xo) = limhh-→0f(x) -f(xo)f'(xo) = limx-xox→Xof(x)-f(o)特别地, f'(O)= limx→x0第一节导数概念

第一节  导数概念 第二章   导数与积分 (2)在利用导数的定义证题或计算时, 要注意导数定义可以写成 多种形式：

第二章导数与积分(3)导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数41Xo处的瞬时变化率limf'(xo) =Ax4.x-→00y在以x.和x+△x为端点的区间上的平均变化率Ax第一节导数概念

第一节  导数概念 第二章   导数与积分 (3) 导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. x0处的瞬时变化率

第二章导数与积分2.单侧导数(1)左导数：f(xo +h) - f(xo)f'(xo) = ,limhh→0-(2)右导数：f(xo +h) -f(xo)fi(xo) = _limhh→0+(3)单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数f(xo)和fl(xo)均存在且相等显然 f'(xo)存在第一节导数概念

第一节  导数概念 第二章   导数与积分 2. 单侧导数 显然 (3)单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数. (1)左导数： (2)右导数：

第二章导数与积分例7讨论函数f (x)=|xl在x=0处的可导性[h]f(0+h)-f(0)解 f'(O)=lim-limhhh-0h→0nlimf*(0) == 1,hh-0+x0-hf"(0)lim-1=x-0为尖点hh-0-即f(O）≠f"(0)，：函数y=f（x)在x=0点不可导第一节导数概念

第一节  导数概念 第二章   导数与积分 例7 解 = − 1