《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）1.3 函数的极限

高等数学第八版同济大学数学科学学院编

高等数学 第八版 同济大学数学科学学院 编

本章重点第一章函数一研究对象分析基础极限一研究方法连续一研究桥梁函数与极限连续函数常量极限变量研究初等研究高等研究桥梁数学数学对象方法

第一章函数与极限 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 常量 初等 数学 变量 高等 数学 函数 研究 对象 极限 研究 方法 连续 研究 桥梁

目录第一章CONTENTS第一节映射与函数第二节数列的极限第四节第三节函数的极限无穷小与无穷大第五节第六节极限运算法则极限存在准则两个重要极限第八节第七节函数的连续性与间断点无穷小的比较第九节第十节「连续函数的运算与初等闭区间上连续函数的性质函数的连续性

CONTENTS 目 录 第一章 第一节 映射与函数 第三节 函数的极限 第二节 数列的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限运算法则 第七节 无穷小的比较 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第八节 函数的连续性与间断点 第九节 连续函数的运算与初等 函数的连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质

第三节函数的极限函数极限的定义一函数极限的性质

第三节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质

第一章函数与极限函数极限的定义回顾数列是函数的特殊情形：X，=f(n)数列的极限：lim xn = lim f(n） =an-8n-8在自变量的某一变化过程中nf(n)8a对应的函数值是否能无限趋? f(x)xA向于某个确定的常数1.自变量趋于有限值时函数的极限limf（x）两种情形：→Xo2.自变量趋于无穷大时函数的极限limf(x)X-00第三节函数的极限

第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 一、函数极限的定义 回顾 数列是函数的特殊情形: 数列的极限: xn = f(n) 两种情形: 1.￾自变量趋于有限值时函数的极限 2.￾自变量趋于无穷大时函数的极限 n ∞ x ? f(n) ? a f(x) ? A = a 第三节 函数的极限 第一章 函数与极限

第一章函数与极限1.自变量趋于有限值时函数的极限1）中巴时函数极限的定义如果在区一X。的过程树对应的函数值x)无限接近于确定的数值那么叫做函数当时的极限如何描述[f(x) - A/ < E?2问题：如何用数学语言描述这个极限过程？JAx2 - 12观察函数f(x)在时的趋向x-1(x - 1)(x +1)f(x)=x+1,x±10xx-1第三节函数的极限

第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 1. 自变量趋于有限值时函数的极限 如果在x→x0的过程中,对应的函数值f(x)无限接近于确定的 数值ᵼ,  那么ᵼ叫做函数ᵼ(ᵼ)当ᵼ→ᵼ时的极限 ᵼ . 1）ᵼ→ᵼ0 时函数极限的定义 |f(x) − A| < ε ε 观察函数 在ᵼ→ᵼ时的趋向 如何用数学语言描述这个极限过程？ 如何描述 ？ 问题：

第一章函数与极限启示：f(x)在某点的极限与函数在该点是否有定义无关用0<lx-xol<表示x→x的过程66XXo- 6XoXo+ 6点Xo的去心6邻域，6体现x接近×。程度，注邻域和去心邻域Us(a) = (xlx -al < 8}称为点a的6邻域：Us (a) = (x]0 < [x -al <8)点a叫做这邻域的中心，6叫做这邻域的半径，第三节函数的极限

第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 启示: f(x)在某点的极限与函数在该点是否有定义无关. 用 x0 − δ δ 点x0的去心δ邻域, δ体现x接近x0程度. x0 x0 + δ x δ 邻域和去心邻域 称为点a的δ邻域 . 点a叫做这邻域的中心, δ叫做这邻域的半径 . 注 第三节 函数的极限 第一章 函数与极限

第一章函数与极限设函数f(x）在点的某去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数口使得当x满足不等式0<[x-xol<时,对应的函数值都满足不等式定义If(x) - Al <e,则称常数A为函数当时的极限，记作lim f (x)=A或 f(x)→A(当x→ xo)X→xo“6"定义lim f (x) = AV O, 0, 当×EU(xo,) 时, 有x-xoI f(x) - A/< ε.第三节函数的极限

第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 定义 (不论它多么小), 设函数 f(x) 在 点 ᵼ0 的某去心邻域内有定义, 则称常数 A￾为函数 当 ᵼ→ᵼ0 时的极限, 或 常数A￾, 记作 如果存在 对于任意给定的正数ε 总存在正数 ᵼ, ᵼ(ᵼ) 都满足不等式 ᵼ(ᵼ) 对应的函数值 ∀ᵼ> 0, ∃ᵼ> 0, 当 时,￾有 “ε − δ” 定义

第一章函数与极限注1.函数极限与f(x)在点Xo是否有定义无关：2.6与任意给定的正数ε有关，3.几何解释：yk当x在Xo的去心6邻域时函数手f(x）y-f(x)A+e图形完全落在以直线y=A为中心线宽为2=的带形区域内，A-E0X00XoX0+x这表明：极限存在>函数局部有界第三节函数的极限

第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 注 1.函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关; 2.δ与任意给定的正数ε有关. 3. 几何解释: 当x在x0的去心δ邻域时,函数ᵼ= f(x) 图形完全落在以直线y = A为中心线, 宽为2ε的带形区域内. 这表明: 极限存在 函数局部有界

第一章函数与极限例1证明lim C = C (C为常数).x-xo证：If(x)-A|=IC-CI =0故V>0,对任意的>0,当0[xxol时,总有ICCl=00,取6=E,当0<xxol<时,总有lx-xol<成立因此limx=xo.X→Xo第三节函数的极限

第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 例1 证明 (C￾为常数). 证 = 0,故∀ε > 0,对任意的δ > 0, 当 因此 总有 成立. 例2 证明 证 对 ∀ε > 0,取δ = ε, 当 因此 总有 成立