《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）7.8 常系数非齐次线性微分方程

第八节常系数非齐次线性微分方程一、定义二、 f(x) = eaxPm(x)型三、 f(x) = eax[Pi(x) cosw x + Qn(x) sin w x]型

第八节 常系数非齐次线性微分方程 一、定 义

第七章微分方程一、 定义形如y"+py+qy=f(x）（pq是常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程+y非齐次通解=齐次通解通解的结构：非齐次特解第7节已解决难点问题难点：如何求特解？针对f(x）的特殊形式方法：行待定系数法给出特解*的待定式代入原方程确定待定系数第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 第7节已解决 一、 定义 的方程称为二阶常系数 难点: 如何求特解？ 方法: 待定系数法. 非齐次线性微分方程. 难点问题 通解的结构: 形如 y ″ + py ′ + qy = f(x) (p,q是常数) 针对f(x)的特殊形式, 代入原方程确定待定系数. 非齐次通解 齐次通解 非齐次特解

第七章微分方程二、 f(x) =eix Pm(x)型y"+py'+qy=exPm(x)，2是实数，Pm(x)是m次多项式.设方程的特解为y*=R(x)eαx，R(x)是待定的多项式.: y* = R(x)eax,y* = eax[a R(x) + R'(x)]y*" = eax[22 R(x) + 2a R'(x) + R"(x)]代入方程，并消去eax，得R'(x) + (2> +p)R(x) + (22 + p2 + q)R(x) = Pm(x).第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 二、 λ是实数,    Pm(x)是m次多项式. R(x)是待定的多项式. R″ (x) + (2λ + p)R′ (x) + (λ 2 + pλ + q)R(x) = Pm(x)

第七章微分方程R"(x) + (2a +p)R'(x) + (a2 +pA+ q)R(x) = Pm(x).1.当不是特征根时，2+p+0使上式成立R(x)应是m次多项式，故特解的形式为y* = Rm(x)ex而2.当是特征方程的单根时，+0使上式成立R(x)应是m+1次多项式，故特2十送0解的形式为y* = xRm(x)eax第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 ᵱ 2 + ᵱ+ ᵱ= 0 使上式成立 故特解的形式为 而 故特 解的形式为 λ 2 + pλ + q ≠ 0 2ᵱ+ ᵱ≠ 0

第七章微分方程R"(x) + (2> + p)R(x) + (a2 + p> +q)R(x) =Pm(x) .3.当是特征方程的重根时22++q=0且2>+p=0使上式成立R(x)应是m+2次多项式，故特解的形式为y* = x?Rm(x)eax第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 且 故特 解的形式为 R″ (x) + (2λ + p)R′ (x) + (λ 2 + pλ + q)R(x) = Pm(x) . λ 2 + pλ + q = 0 2λ + p = 0

第七章微分方程综上所述，有以下结论：方程y"+py'＋qy=e×Pm(x）具有形如y* = xk Rm(x)eax0特征方程单的特解，其中22++=0重人S第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 方程 具有形如 其中 ᵱ= 特征方程 λ 2 + pλ + q = 0

第七章微分方程例1求微分方程23E3+1的一个特解解本题入=0，而特征方程为r2-2r-3=0,入=0不是特征方程的根设所求特解为y*=box+b1代入方程：-3box-3b1-2bo=3x+1.比较系数，得1- 3bo= 3,bo=-1, bi=3,- 2bo - 3b1 = 1.1于是所求特解为y*=-×+3·第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 例1 解 本题 而特征方程为 不是特征方程的根. 设所求特解为 代入方程: 于是所求特解为 求微分方程ᵱ ″ − 2ᵱ ′ − 3ᵱ= 3ᵱ+ 1的一个特解. λ = 0 , r 2 − 2r − 3 = 0 , λ = 0 y ∗ = b0x + b1 , − 3b0x − 3b1 − 2b0 = 3x + 1. − 3b0 = 3, − 2b0 − 3b1 = 1. b0 = − 1 ,  b1 = 1 3 , y ∗ = − x + 1 3

第七章微分方程例2求方程y"-5y'+6y=xe2x的通解解本题入=2,特征方程为r2-5r+6=0，其根为『1=2，『2=3.对应齐次方程的通解为Y=Cie2x+C2e3x设非齐次方程特解为y*=x(box+b1)e2x代入方程得导-2box-b1+2bo=x,1- 2b= 1,比较系数，得bo = - 2, bi = - 1,2bo - b1 = 0.72x因此特解为V37y=Ce2x所求通解为第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 例2 的通解. 解 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 因此特解为 代入方程得 所求通解为 λ = 2, r 2 − 5r +6= 0 , r1 = 2, r2 = 3. − 2b0x − b1 + 2b0 = x, − 2b0 = 1, 2b0 − b1 = 0. b0 = − 1 2 , b1 = − 1

第七章微分方程二、f(x) = eax[Pi(x) cosw x +Qn(x) sin w x])型分析思路：步骤1.将f(x)转化为f(x) = Pm(x)e(a+iw)x + Pm(x)e(a+iw)x;步骤2.求出如下两个方程的特解y" + py' + qy = Pm(x)e(a+ia)x,早甲Pm(x)e(a+iw)x,步骤3.利用叠加原理求出原方程的特解步骤4.分析原方程特解的特点第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 步骤2. 求出如下两个方程的特解 分析思路: 步骤4. 分析原方程特解的特点. 二、 ᵱ ″ + ᵱ ′ + ᵱᵱ=

第七章微分方程步骤1.利用欧拉公式将f(x）变形eiwx-iwxeiwx + e-iwxDAX+f(xX2i2[P(x)[Pi(x)Qn(x)Qn(x)wx22i22i令 m = max[n, I},则f(x) = Pm(x)e(a+ia)x + Pm(x)e(a-ia)x= Pm(x)e(a+ia)x + Pm(x)e(a+ia)x.第八节常系数非齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程 第七章 微分方程 步骤1. ᵱᵱ (ᵱ) + ᵱᵱ(ᵱ)