《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）3.2 洛必达法则

第二节洛必达法则0I型未定式08型未定式800：8,8-8,0%1°,800型未定式三

第二节 洛必达法则

第三章微分中值定理与导数的应用在第二章中已经看到：两个无穷小之商或两个无穷大之商其极限都不能直接利用极限运算法则来求例如：未定式x5 +x - 1x2-0(1)lim(3) lim0x=2x5+3x2x-1 x - 1ln x0tan x(4) lim(2)lim(dln 3xX→0+xx-0未定式的定义如果当x→a(或x→8)时,两个函数f(x）与F（x）0f(x)8称为型未定式都趋于零或趋于无穷大，则极限或一lim一0F(x)→aX8(x-8)第二节洛必达法则

第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 未定式 例如: 在第二章中已经看到：两个无穷小之商或两个无穷大之商,其极限 都不能直接利用极限运算法则来求. 未定式的定义 如果当x→a(或x→∞)时, 两个函数f(x)与F(x) 都趋于零或趋于无穷大

第三章微分中值定理与导数的应用型未定式0定理1这种在一定条(1)limf (x) =lim F(x) = 0件下通过分子x-ax-a分母分别求导(2) f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F(x)≠ 0再求极限来确定未定式的值f'(x)lim(3)存在(或为8)x-a F'(x)的方法称为洛必达法则f(x)f'(x)limlimx=aF(x)x-a F'(x)第二节洛必达法则

第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 定理1 且F ′ (x) ≠ 0 存在(或为∞) 这种在一定条 件下通过分子 分母分别求导 再求极限来确 定未定式的值 的方法称为洛 必达法则

第三章微分中值定理与导数的应用证定义辅助函数(f(x),(F(x),x±a,x±a,Fi(x)=fi(x) =0,0.x=a,x=a,则fi(x)和F1(x)在以a与x为端点的区间上满足柯西中值定理条件，f'()f(x)f(x) - f(a)F'()(口在x与a之间)F(x)F(x) - F(a)f(x)f'()故 limA.证毕lim注意到当x-a时口→a，xaF(x)-aF'(E)第二节洛必达法则

第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 证 定义辅助函数 则f1(x)和F1(x)在以 a 与 x 为端点的区间上,满足柯西中值定理条件, (ᵅ 在x与a之间) 注意到当x→a时,ᵅ →a, 证毕

第三章微分中值定理与导数的应用f(x)f'(x)limlim洛必达法则x-aF(x)x-a F'(x)推论1定理l中的x→a换为 x→at，x→a-，x→8，x→+ 8,x→一8之一，条件(2)作相应的修改定理1仍然成立，0f'(x)推论2仍属若lim型，且f(x),F(x)满足定理1条件0F'(x)f(x)f'(x)f"(x)则lim=lim=limF(x)F'(x)F"(x)并且可以以此类推第二节洛必达法则

第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 推论1 推论2 洛必达法则 定理1中的x→a换为 x→a x→∞, + , x→a −, x→ + ∞, x→ − ∞之一, 条件(2)作相应的修改,定理1仍然成立. 并且可以以此类推. 第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用

第三章微分中值定理与导数的应用tan ax0例求lim(tan x)' = sec2 x0x-o tan bxasec? axa(tan ax)"解原式=1limlim= b.x-0bsec2bxx-0 (tan bx)"x3-3x+2(%)例2求调x-x+1注意：不是未3定式不能用洛3x2-36x解原式=limlim2x-i3x2-2x-1x-i6x-2必达法则！6#lim ==1x-16第二节洛必达法则

第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 例 解 = a b . 例2 解 ≠ 注意: 不是未 定式不能用洛 必达法则￾! = 3 2

第三章微分中值定理与导数的应用Tarctan x(%)2例4求lim1--→+8x1t1 + x2解:1lim原式= limx-+00 1 +x21X→+00t2Tarctann2思考： 如何求 lim (n为正整数)？1-nn-00第二节洛必达法则

第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 思考： 例4 解 = 1

第三章微分中值定理与导数的应用二、8型未定式（简介）定理(1) lim /f(x)/ =lim |F(x)/ = 00x-40x-a(2) f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F(x)± 0f'(x)f(x)f'(x)(3)limlimlim（洛必达法则）存在(或为8)一x-a F'(x)x-aF(x)FI(xx→a1f(x)不仅就极限lim存在的情形加以证明x-aF(x)证第二节洛必达法则

第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 （简介）定理 且F ′ (x) ≠ 0 存在(或为∞) (洛必达法则) 不 证

f(x)≠0的情形(1)limx-aF(x)-11F'(x)F2(x)F(x)f(x)lim山lim= limx-aF(x)-1x-→a1x-af'(x)f2(x)f(x)2F'(x)F'(x)(f(x)f(x)= limlimlimx=af'(x)f'(x)F(x)F(x)x-ax-aF'(x)f(x)f(x)f'(x)从而limlimlim: 1 =limx-aF'(x)x-aF(x)x-a f'(x)x-aF(x)

第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用

f(x)0的情形.取常数0.(2)limx-aF(x)f(x)f(x) + kF(x)lim=k≠ 0,可用(1)中结论klimF(x)F(x)x→ax-af'(x) + kF'(x)f'(x)=limklim二F'(x)F'(x)x→ax-af'(x)f(x)limlimx-aF'(x)x-aF(x)

第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 = k ≠ 0,可用(1)中结论 取常数ᵅ≠ 0