《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）7.6 高阶线性微分方程

第六节高阶线性微分方程、二阶线性微分方程举例线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构四、常数变易法

第六节 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 三、线性非齐次方程解的结构 二、线性齐次方程解的结构 四、常数变易法

第七章微分方程、二阶线性微分方程举例例1质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态.若用手向下拉物体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻力作用下作往复运动，阻力的大小与运动速度成正比，方向相反.建立位移满足的微分方程解取平衡时物体的位置为坐标原点，建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t)（1）自由振动情况.物体所受的力有：弹性恢复力手一口（胡克定律）第六节高阶线性微分方程

第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态. 力作用下作往复运动, 解 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力有: (胡克定律) 成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程. ᵆ= − ᵆᵆ

第七章微分方程dx阻力R=μ-dtd?xdx据牛顿第二定律得mcx-udt2dtcμ则得有阻尼自由振动方程：令 2n =m,k2 =m'd2xdx+k2x = 0.+ 2ndt2dt（2）强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力令h=F=Hsinpt作用则得强迫振动方程：md2xdxk?x=hsinpt.+2ndtdt2第六节高阶线性微分方程

第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程 据牛顿第二定律得 则得有阻尼自由振动方程: 阻力 (2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力 则得强迫振动方程: 令 2n = μ m, k 2 = c m, 令 h = ᵆ m

第七章微分方程设有一个电阻R、自感L、电容C和电源E串例2联组成的电路，其中R,L,C为常数E=Emsinのt,求电容器两极板间电压日所满足的微分方程，R解设电路中电流为t),极板上的电量为q(t），自感电动势为dqdi口导由电学知i：EL =1dtdt口SAB根据回路电压定律：在闭合回路中，所有支路上的电压降为0diqE -Ri = 0.Lcdt第六节高阶线性微分方程

第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程 求电容器两极板间电压 例2 联组成的电路，其中R,L,C￾为常数， 所满足的微分方程 . 上的电量为q(t￾)￾,自感电动势为 由电学知 根据回路电压定律: 设有一个电阻 R￾、自感L￾、电容C￾和电源 E 串 极板 在闭合回路中,所有支路上的电压降为0 ᵆᵆ ᵆᵆ , ᵆᵆ = ᵆ ᵆ

第七章微分方程duc故有的方程：注意i=化为关于口白Cdtd2ucducLCEm sinwt,17=+RC日dt2dtR1令βR=Wo2LVLC串联电路的振荡方程Cd2ucEmduc2+ 2βsinwtwou+q-qsdt2dtLCAB如果电容器充电后撤去电源（E=O），则得d’ucduc+ wo2uc = 0.+ 2βdt2dt第六节高阶线性微分方程

第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程 串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 (￾E￾= 0￾)￾, 则得 化为关于 ᵆᵆ 的方程: 故有 + ᵆᵆ

第七章微分方程例1例2方程的共性一可归结为同一形式：y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)，为二阶线性微分方程n阶线性微分方程的一般形式为y(n) +ai(x)y(n-1) + ... +an-1(x)y' + an(x)y = f(x).当f(x）丰0时，称为非齐次方程；当f(x)三0 时,称为齐次方程复习：一阶线性方程y+P(x)y=Q(x)通解 y=Ce-J P(x)dx +e-J P(x)dxQ(x)eJ P(x)dxdx ...非齐次方程特解*齐次方程通解Y第六节高阶线性微分方程

第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程 方程的共性 为二阶线性微分方程. 例2 — 可归结为同一形式: 时,称为非齐次方程; 时,称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 通解 : 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 ᵆ ∗ 例1 y ″ + p(x)y ′ + q(x)y = f(x), y ′ + P(x)y = Q(x). 第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程

第七章微分方程线性齐次方程的解的结构二定理1若函数yi(x),y2(x)是二阶线性齐次方程y"+ P(x)y' + Q(x)y = 0的两个解，则y=Ci1(x)+C22(x)(CiC2为任意常数)也是该方程的解.（叠加原理）证将代入方程左边，得[Ciy" + C2y2 ] +P(x)[C1y" + C2y2 ]+Q(x)[Ciy + C2y2]= C,[y + P(x)yi + Q(x)y1]+C2[y2+P(x)y2+Q(x)≠0.证毕第六节高阶线性微分方程

第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程 二、线性齐次方程的解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证 代入方程左边,得 (叠加原理) 定理1 证毕 若函数 y1(x), y2(x) y ″ + P(x)y ′ + Q(x)y = 0 则 y = C1y1(x) + C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 将 ᵆ= ᵆ1ᵆ1 (ᵆ) + ᵆ2ᵆ2 (ᵆ) = C1[y ″ 1 + P(x)y ′ 1 + Q(x)y1] + C2[y ″ 2 + P(x)y ′ 2 + Q(x)y2=] 0

第七章微分方程注y=Ciyi(x）+C2Y2(x)不一定是所给二阶方程的通解例如：y1(x)是某二阶齐次方程的解,则y2(x)=2yi(x)也是齐次方程的解但是, Ciyi(x) + C2y2(x) = (C1 + 2C2)y1(x)并不是通解为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与线性无关概念第六节高阶线性微分方程

第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程 不一定是所给二阶方程的通解. 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解. 并不是通解. 但是, 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 注 例如: y = C1y1(x) + C2y2(x) y1(x) y2(x) = 2y1(x) C1y1(x) + C2y2(x) = (C1 + 2C2)y1(x)

第七章微分方程设i(x),2(x)，，n(x是定义在区间I上的n个函数若存在不全为0的常数k,k2…,kn，使得定义kiyi(x) + k2y2(x) + ..* + k,y,(x)=0,xEl,则称这n个函数在I上线性相关，否则称为线性无关（1）1，cos2x,sin2x在任何区间I上都线性相关例如：： Vx E R,都有1 - cos2 x - sin2 x = 0（2）1,X，×2在任何区间I上都线性无关，：若存在kk2k3使得k1+z×+k3x2=0则根据二次多项式至多只有两个零点，必有k1=k2=k3=0第六节高阶线性微分方程

第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程 定义 是定义在区间 I 上的n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 则根据二次多项式至多只有两个零点, 若存在不全为0的常数 例如: 设 y1(x), y2(x), ⋯ , yn(x) k1 ,k2 ,⋯ ,kn, k1y1(x) + k2y2(x)+⋯ + knyn(x) ≡ 0,x ∈ I, （2）1,x , x 2在任何区间I上都线性无关. ∵ 若存在k1,k2,k3,使得 k1 + k2x + k3x 2 ≡ 0, 必有k1 = k2 = k3 = 0

第七章微分方程两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件yi(x), y2(x)线性相关 存在不全为o的ki,k2 使kiyi(×) + k2y2(x)=0.k2yi(x)k1y2(x)Yi(x)y1(x), y2(x)线性无关丰常数.Y2(x)可微函数Y1,Y2线性无关yi(x)Y2(x)± 0.（证明略）yi(x)y2(x)思考 若yi(x), y2(x)中有一个恒为0, 则yi(x), 2(x)必线性相关第六节高阶线性微分方程

第六节 高阶线性微分方程 第七章 微分方程 思考 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件: 线性相关 存在不全为0的 使 线性无关 ≡ 常数. (证明略) 线性无关 y1(x), y2(x) k1,k2 k1y1(x) + k2y2(x) ≡ 0. y1(x), y2(x) 可微函数 y1,y2 若y1(x), y2(x)中有一个恒为0, 则y1(x), y2(x)必线性 相关