《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）1.6 极限存在准则 两个重要极限

第六节极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限*三、柯西极限存在准则

第六节 极限存在准则 两个重要极限 一、极限存在准则 二、两个重要极限 *三、柯西极限存在准则

第一章函数与极限，极限存在准则一1.夹逼准则准则1如果数列(x3,(yn}及(z3满足下列条件（1）从某项起，即3noEN+,当n>no时,有(2) ,im yn = a, lim Zn = a,n-8则数列(xn}的极限存在,且lim xn=a.n-8第六节极限存在准则两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 ᵰᵰ≤ ᵰᵰ≤ ᵰᵰ; （2）   （1）从某项起, 即∃n0∈N+ ,当n＞n0时, 有

第一章函数与极限证：: V> 0, EN1 > 0, N2> 0, 使得当n > N,时恒有lyn -αl N2时恒有lzn-αl N时,上两式同时成立.从而有a-<≤×≤za+即lxnαl<成立.. lim xn = a.得证n-→0注利用准则I求极限的关键是：构造出yn与zn,并且yn与zn的极限是容易求的第六节极限存在准则两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 证 ∵ ᵰ→ ᵰ ᵰ,ᵰᵰ →ᵰ, 即a − ε＜yn＜a + ε, 即a − ε＜zn＜a + ε, 则当n > N时,上两式同时成立. 从而有 a − ε＜yn ≤ xn ≤ zn＜a + ε, 得证. 取N=max｛n0 , N1 ,N2｝, 注 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限

第一章函数与极限111例1求 limn-8/n2+1n2+2n2tn11nn解Vn2 + 1Vn? +1Vn?+nVn2+n而11nnlimlimlimlim1Vn2n-0Vn2n-00n-→1n-→001十+nX+n2n1111.lim++...+一：n→0Vn? +Vn2Vn212++n第六节极限存在准则两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 例1 求 解 而 = 1, = 1

第一章函数与极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则如果(1) 当x E(xo,8)(或|x| > X)时, )≤(< h(F(2) lim g(x) = A, lim h(x)= AxRXoRX0(x?Y)(xR?)则极限 lim f(x)存在，且 lim f(x)=A.xRXoXRX(XR?)(XRY)注准则和I称为夹逼准则，也称为极限存在的迫敛性，第六节极限存在准则两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 ᵰ(ᵰ)≤ ᵰ(ᵰ)≤ ℎ(ᵰ); 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限. 注

第一章函数与极限例证明：limcosx=1.x-0证当0<时,X20<l1- cosxl= 1- cosx=2sin21lim=x2 = 0,lim0=0,.x-02x-0lim(1 - cos x) = 0,lim cos x = 1.得证点X→0x-0第六节极限存在准则两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 例 证 得证

第一章函数与极限2.单调有界准则准则单调有界数列必有极限几何解释：X1≤x2≤..≤xn≤xn+1≤.≤Mlim xn = a (≤M)n-→8口口PQ9日口Xn+1lim xn = b (≥m)xi≥x2≥...≥xn≥xn+1≥.≥mn-→8口口口口口Xn+19第六节极限存在准则两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 2. 单调有界准则 ᵰ 几何解释: ᵰ ᵰ 准则II 单调有界数列必有极限. ᵰ ᵰ1 ᵰ2 ᵰ3 ᵰᵰ ᵰ ᵰ ᵰᵰ ᵰ3 ᵰ2 ᵰ1

第一章函数与极限注函数极限也有类似于准则II的单调有界必有极限准则准则II'设函数f(x)在点xo的某个左邻域内单调并且有界则f(x)在xo的左极限limf(x)必定存在.x-xo准则II'设函数f(x)在点xo的某个右邻域内单调并且有界则f(x)在xo的右极限lim.f(x)必定存在x→x准则II'若X >0,当x>X时,函数f(x)单调且有界则极限limf(x）必定存在x+准则II'设函数f(x)在x的负无穷大邻域内单调且有界，则极限limf(x)必定存在，x→第六节极限存在准则两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 注

第一章函数与极限二、两个重要极限sinx1.lim1xx-0设单位圆O圆心角ZAOB=x，（0<x<作单位圆的切线，得△ADO.扇形OAB的圆心角为x，△OAB的高为BCtanxsinx于是有sin x=BC,x =弧AB,tan x=ADCsinxCCAcOSx.. sinx<x<tan x,即 cosx1xsinx此式对于_"<x<0也成立.：lim cosx=1，lim 1=1,..limx-→0x-0x-0x第六节极限存在准则两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 二、两个重要极限

第一章函数与极限tanx例1求limxx-→01(sinx1tan xsinx解limlimlimlimxxx→0x-→0cosxx-0cOSxX-→0xarcsin x例3求 limxx→0解令arcsin x =t,则x = sin t,则当x → o时,t → 0.于是11tarcsin xlim1limlimsintsintt-osintt-→oxx→0limttt→0第六节极限存在准则两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 例1 解 = 1. 例3 解 = 1