《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）3.1 微分中值定理

第一节微分中值定理一、罗尔(Rolle）定理二、拉格朗日（Lagrange）中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理

第一节 微分中值定理 一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西( Cauchy )中值定理

第三章微分中值定理与导数的应用一、罗尔定理罗尔定理C如果函数f(x）满足/= f(x)B(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；o□2b(3) f(a) = f(b).aX口1则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f'()=0几何解释：在曲线弧AB上至少有一点C在该点处的切线是水平的第一节微分中值定理

第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、罗尔定理 x y y = f(x) ᵱ ᵱ 2 1 A B a b C 罗尔定理 如果函数f(x)满足 使得 几何解释∶ 在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的

第三章微分中值定理与导数的应用证：f(x)在[ab]连续，必有最大值M和最小值m.(1)若 M = m. 则 f(x) = M. V E (ab),都有 f( )= 0.(2)若Mm.f(a)=f(b)，最值不可能同时在端点取得.设M→f(a),则在(ab)内至少存在一点使f()=M.f(≤+ △x) -f(5)+≥0,: f"(5) = limAx4x-0-f(≤+△x) -f(5)：（费马）只有f（口）=0f(5) =lim0AxAx-0+：f(口）存在，f_（口)=f+（口)第一节微分中值定理

第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 证 ∵ f(x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M = m. 则 f(x) = M. ∀ ᵱ ∈ (a,b),都有 f ′ (ᵱ ) = 0. (2) 若 M ≠ m. ∵ f(a) = f(b), ∴ 最值不可能同时在端点取得. 设 M ≠ f(a), 则在 (a,b) 内至少存在一点 ᵱ 使 f(ᵱ ) = M. ∵ f ′ (ᵱ )存在, ∴ f ′ −(ᵱ ) = f ′ +(ᵱ ). ∴ （费马）只有 f ′ (ᵱ ) = 0

第三章微分中值定理与导数的应用二、拉格朗日中值定理J拉格朗日定理y=f(x)-B如果函数f(x)满足D(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导xOa5152bf(b) -f(a)则在开区间(α,b)内至少存在一点气使得f（）=b-a几何解释在曲线弧AB上至少有一点C在该点处的切线平行于弦AB.第一节微分中值定理

第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日定理 如果函数f(x)满足 使得 几何解释∶ 在曲线弧 AB 上至少有一点 C,在该点处的切线平行于弦AB

第三章微分中值定理与导数的应用证方法1.设辅助函数: Φ(x)f(b) -f(a)p(x) = f(x) -Xb-a在[ab]上连续在(ab)内可导则(x)满足罗尔定理条件β(a) = (b)：3E(ab)使得@)=0.f(b) -f(a)=0bf(a)-af(b)即β'()= f() -b-ab-af(b) -f(a):f'() :证毕b-a第一节微分中值定理

第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 证 方法1. 设辅助函数 则φ(x)满足罗尔定理条件, ∴ ∃ᵱ ∈ (a,b),使得 φ′ (ᵱ ) = 0. = 0. 证毕 ∵ φ(x) 在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, φ(a) = φ(b)

第三章微分中值定理与导数的应用证方法2.分析：条件中与罗尔定理相差f(a)=f(b).弦AB方程为yy = f(x)CBf(b) - f(a)My=f(a) +(x-a)b-aCD曲线f(x）减去弦AB，a1x一xb所得曲线ab两端点的函数值相等f(b) -f(a)作辅助函数F(x)=f(x)-[f(a)+-a)lb-a则F(x）满足罗尔定理的条件，f(b) -f(a)证毕：在(a,b)内至少存在一点,使得F'（）=0.即f'（）b-a第一节微分中值定理

第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 b x ᵱ 2 ᵱ D ᵱ a ᵱ 1 x y y = f(x) A C B M 证毕 证 方法2. 分析:条件中与罗尔定理相差 f(a) = f(b). 弦AB方程为 曲线 f(x) 减去弦 AB, 所得曲线a,b两端点的函数值相等. 作辅助函数 则F(x) 满足罗尔定理的条件

第三章微分中值定理与导数的应用f(b) -f(a)注(1)或 f(b) - f(a) =f( )(b -a)称f'():b-a为拉格朗日中值公式，(2)拉格朗日中值公式的有限增量形式：f(X。 + △x) - f(xo) = f(x。 + △x) : x (0 < 0< 1).口或△y = f(x。 + 0△x) : △x (0 < 0 < 1).(3)拉格朗日中值公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某处的导数之间的关系思考与微分近似公式的区别？第一节微分中值定理

第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 注 思考 与微分近似公式的区别？ 或 f(b) − f(a) = f ′ (ᵱ )(b − a) 为拉格朗日中值公式. f(x0 + Δx) − f(x0) = f ′ (x0 + θΔx) ⋅ Δx (0 < θ < 1). ᵱ 或    Δy = f ′ (x0 + θΔx) ⋅ Δx (0 < θ < 1)

第三章微分中值定理与导数的应用那渠函数性区悔区间是上连数！内可导且导数恒为零推论证在|上任取两点×1×2（X1<×2)，在[×1×2]上用拉格朗日中值公式得f(×2) - f(×1) = f( )(×2 X1)= 0(×1 < <X2)f(x2) = f(xi)由×1X2的任意性知，f(x)在1上为常数，第一节微分中值定理

第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 推论 如果函数 那么 f(x) f在区间 (x) 在区间ᵱ上是一个常数 I 上连续, I. 内可导且导数恒为零, 证 在I上任取两点x1,x2 (x1 < x2), 在[x1,x2]上用拉格朗日中值公式,得 = f ′ f(x (ᵱ )(x2 − x1) 2) − f(x1) = 0(x1 < ᵱ < x2) ∴   f(x2) = f(x1) 由 x1,x2 的任意性知, f(x)在 I 上为常数. 第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用

第三章微分中值定理与导数的应用x例证明当x>0时<ln(1+x)< x.1 +x证设f(x）=ln(1+x),则f(x)在[0x]上满足拉格朗日中值定理的条件,: 由f(x) - f(0)= f( )(x - 0), (0 <<x)得x1(x - 0),即ln(1 +x)In(1+ x) - In(1 +0) =1+51+11又:0<□<x一1<1+□<1+×<11 +x+1xxx<x,即<In(1 + x) < x.1 +x1+91+x第一节微分中值定理

第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 例 证 则f(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件, ∴ 由f(x) − f(0) = f ′ (ᵱ )(x − 0), (0 < ᵱ < x)得 又 ∵ 0 < ᵱ < x 1<1 + ᵱ < 1 + x

第三章微分中值定理与导数的应用三、柯西中值定理y柯西中值定理(x=F()y=f(t)C如果函数f(x)及F(x)满足M(1)在闭区间[a,b]上连续N0(2)在开区间(a,b)内可导;XoF(62) F(b)F(S1)F(x)F(a)(3)在开区间(a,b)内F'(x)≠ 0,f'(5)f(b) - f(a)则在开区间(α,b)内至少存在一点,使得F(b) - F(a)F'()CF（口）f（口）几何解释：在曲线弧AB上至少有一点C在该点处的切线平行于弦AB第一节微分中值定理

第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 三、柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)满足 使得 几何解释∶ 在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB. C(F(ᵱ ),f(ᵱ ))