《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）5.4 反常积分

第四节反常积分一、无穷限的反常积分二无界函数的反常积分

第四节 反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分

第五章定积分一、无穷限的反常积分1引例：曲线y=和直线手1及x轴所围成的开口曲边梯形t2+8dx的面积可记作A=x2y其含义可理解为-bdxxbilimA=_limr2b-+8xb→+8b0x1= 1limbb-→+8第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 一、无穷限的反常积分 的面积可记作 其含义可理解为 引例: 和直线 ᵰ= 1 = 1

第五章定积分b定义1若lim(1) 设(E[+ 80),f (x)dx存在,取√口b→+a则称此极限为f（x）的无穷限反常积分，记作b+8f (x)dx = _limf (x)dxb-+8JaJa+8这时称反常积分f(x)dx收敛；如果上述极限不存在a+就称反常积分f (x)dx发散a(2)设E68, h取以口则类似地可定义rbcb作为课堂提问f (x)dx = limf (x)dxa--800a第四节反常积分

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 如果上述极限不存在, 发散. 记作 定义1 则类似地可定义 作为课堂提问 (1) 设ᵰ(ᵰ) ∈ ᵰ[ᵰ, + ∞), 取ᵰ> ᵰ, （2）设ᵰ(ᵰ) ∈ ᵰ( − ∞, ᵰ], 取ᵰ< ᵰ, 第四节 反常积分 第五章 定积分

第五章定积分(3) 若E8, +8),则定义r0-br+8f (x)dx = limf (x)dx+ limf (x)dxb-→+oa-→-8Jo00Ja+8只要有一个极限不存在，则称反常积分f (x)dx发散-8上述反常积分统称为无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第四节反常积分

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 上述反常积分统称为无穷限的反常积分 ￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾也称为第一类反常积分.￾ (3)  若ᵰ(ᵰ) ∈ ᵰ( − ∞, + ∞), 则定义 只要有一个极限不存在, 第四节 反常积分 第五章 定积分

第五章定积分注若(是（的原函数，引入记号F(+o) = lim F(x); F(-oo) = lim F(x)X+则有类似牛顿一莱布尼茨公式的计算表达式-8+8+8)f (x)dx =(1)若出现80—8，口O并非不定型h它表明该反常(2)f (x)dx =(=8)8积分发散8F88)8)(3)f (x)dx =180第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 注 若ᵰ(ᵰ)是 ᵰ()ᵰ的原函数, 引入记号 = ᵰ(ᵰ) + ∞ ᵰ = ᵰ( + ∞) − ᵰ(ᵰ) ᵰ − ∞ = ᵰ(ᵰ) = ᵰ(ᵰ) − ᵰ( − ∞) + ∞ − ∞ = ᵰ(ᵰ) = ᵰ( + ∞) − ᵰ( − ∞) 则有类似牛顿 − 莱布尼茨公式的计算表达式:

第五章定积分+8dx例1计算反常积分1 +x2几何意义：+8dx解[arctan x]±8图中阴影部分的面积1 + x2山元T2=21+x2=口0xba+80+8dxdx显然有：21 + x21+x2o80第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 例1 计算反常积分 解 = π 2 = ᵰ

第五章定积分+8xdx思考：?对吗?O.1 + x2CY+8xdx7分析：In(1原积分发散！1 + x22X注意：对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零的性质！第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 思考: 分析: 原积分发散￾!

第五章定积分+0te-Pt dt计算反常积分例2(P>0)Jo+8C+80+81011解te-Pte-Ptdt原式=Xtd(pPJoPJo+0010p2e-Pt1P2第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 例2 解 + ∞ 0 + ∞ 0

第五章定积分+8dx例3证明反常积分当P>1时收敛,当P≤1时发散rp0+ dx证当年1时有[1n|x]] =+8xJa+8,31,[x1-P+00+ dxa1l-p当1时有p1一P_iP>1.aal-p因此当1时反常积分收敛其值为P-1'证毕当1时反常积分发散第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 例3 证 例如 证毕 当ᵰ= 1时有 当ᵰ≠ 1时有 + ∞  ᵰ 1时反常积分收敛 , ,其值为 当ᵰ≤ 1时,反常积分发散

第五章定积分二、无界函数的反常积分1引例：曲线y：与轴轴和直线VVx1所围成的开口曲边梯形的面积dx可记作A=VxCxo8其含义可理解为dx= lim 2 (1 - V)= 2A = limlim0Vx-0+Cc第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 二、无界函数的反常积分 引例: 与轴ᵰ ,轴和直线 ᵰ ᵰ= 1所围成的开口曲边梯形的面积 其含义可理解为 = 2