《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）5.2 微积分基本公式

第二节微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限的函数及其导数三、牛顿-莱布尼兹公式

第二节 微积分基本公式 一、问题的提出 二、积分上限的函数及其导数

第五章定积分一、问题的提出寻求一个计算定积分的有效简便的方法，段兼鞠炸直线运动，已知速度V=v(t)是时间间隔[T,T2]引例上t的一个连续函数，且v(t)≥0.求在运动时间内物体所解设s = s(t)是位置函数,则 s = s(T,)-s(T,),T0s(T))s(T2)s(t)v(t)dt又由定积分的定义可知S=:v(t)dt = s(T2)-s(Ti), s(t) =v(t)第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 一、问题的提出 解 引例 则 s = s(T2) − s(T1). 寻求一个计算定积分的有效简便的方法. 设某物体作直线运动, 已知速度v = v(t)是时间间隔[T1,T2] 上t的一个连续函数, 且v(t) ≥ 0. 求在运动时间内物体所 经过路程s. 设s = s(t)是位置函数, 又由定积分的定义可知 s ′ (t) = v(t)

第五章定积分二、积分上限函数及其导数1.积分上限函数的定义设函数f(x)在区间[ab]上连续，并且设x为[ab]上的一点,xf(t)dt记为 Φ(x)考察定积分f(x)dx =积分上限函数JaJaJ4如果上限x在区间[ab]上任意变动y=f(x)则对于每一个取定的X值，定积分有(E)@ (x)一个对应值,所以它在[ab]上定义了一个函数，X0Ex+Axbg这个函数的几何意义是如图阴影部分的面积函数第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 二、积分上限函数及其导数 考察定积分 1. 积分上限函数的定义 记为 积分上限函数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续, 并且设x为[a,b]上的一点, 如果上限x在区间[a,b]上任意变动, 则对于每一个取定的x值, 定积分有 一个对应值,所以它在[a,b]上定义了 一个函数. Φ(x) 这个函数的几何意义是如图阴影部分的面积函数

第五章定积分2.积分上限函数的性质定理1如果f(x)在[ab]上连续，则积分上限的函数f(t)dtΦ(x) a在[ab]上可导，并且它的导数rxdf(t)dt =f(x)(a<x≤b)D!XdxJa即(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 2. 积分上限函数的性质 (a ≤ x ≤ b) 定理1 如果f(x)在[a,b]上连续, 则积分上限的函数 在[a,b]上可导, 并且它的导数 即ᵯ(x)是f(x)在[a, b]上的一个原函数. 第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分

第五章定积分Φ(x + △x) -Φ(x)证Φ'(x)= lim: Φ(x) =f(t)dtAx4x→0fx+$* f(t) dt - J* f(t) dtx+AxPlim: Φ(x + Ax) =f(t)dt二AxAx→02rx+△xyAf(t) dtf()Ax3limlim-y=f(x)Axx4x-0Ax-0在x与x+△x之间f(E)@(x)= lim f () = f(x)oax=x+AxbxE-xcd即β'(x)f(t)dt = f(x)dxJa证毕第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 证 ᵯ 在x与x + Δx之间 = f(x) 证毕

第五章定积分定理2（原函数存在定理）如果f(x)在[ab]上连续，那么积分上限的函数xΦ(x) =f(t)dtDa是f(x)在[ab]上的一个原函数定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 定理2 （原函数存在定理） 如果f(x)在[a,b]上连续,那么积分上限的函数 是f(x)在 [a,b]上的一个原函数. 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分

第五章定积分注如果f(x)连续，a(x)b(x)可导， 则有cb(x)df(t)dt= f[b(x)]b'(x) - f[a(x)]a'(x)dx(Ja(x)b(x)rb(x)C0证f(t)dtf(t)dt =f(t)dt +Ja(x)J0Ja(x)rb(x)ra(x)f(t)dt f(t)dt,J00cb(x)f(t)dtf[b(x)l · b(x)-f[a(x)l ·a(x)Ja(x)x-bcb(x)dda提问f(t)dt =?f(t)dt =?f(t)dt =?dxJdx Ja(x)dx第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 提问 证 注 如果f(x)连续,  a(x),b(x)可导,  则有 ⋅ b′ (x) ⋅ a ′ (x)

第五章定积分三、牛顿-莱布尼茨公式定理3（微积分基本定理）如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[ab]上的一个原函数,则-bf(x)dx = F(b) - F(a).C证：由已知和定理2,F(x)和Φ(x)=f(t)dt都是f(x)的原函数:. (x)- F(x) = C, x E[ab],2令x = a得,C =(a)- F(a)f(x)dx - F(a) =-F(a),: (x) = F(x) + C = F(x) - F(a),6令x = b得,(b)= F(b)-F(a),即f(x) dx = F(b) - F(a)证毕a第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 证 三、牛顿-莱布尼茨公式 定理3 （微积分基本定理） 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间 [a,b]上的一个原函数,则 ∴ ᵯ(x) − F(x) = C, x ∈ [a,b]. 令x = a得, C = ᵯ(a) − F(a) = − F(a), ∴ ᵯ(x) = F(x) + C = F(x) − F(a). 令x = b得, ᵯ(b) = F(b) − F(a), 证毕

第五章定积分注（1）当a>b时，牛顿－莱布尼茨公式或者微积分基本公式仍成立f(x)dx = F(b) - F(a)（2）一个连续函数在区间[ab]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ab]上的增量（3）求定积分问题转化为求原函数的问题为方便记-bY= F(b) -F(a)f(x)dx = F(x)ab或f(x)dx= [F(x)]a = F(b)-F(a)a第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 牛顿 − 莱布尼茨公式或者微积分基本公式仍成立. 注 （1）当a > b时, （2）一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数   在区间[a,b]上的增量. （3）求定积分问题转化为求原函数的问题.为方便,记 = F(b) − F(a) 或 = F(b) − F(a)

第五章定积分V3dx例2计算r21+rV3V3dx解arctan V3- arctan(- 1)=arctanx-11 + x27元元12元= 3-(- 4)11例3计算=dx.x-21解当x<0时,=的一个原函数是In|x.x-11=dx = [ln |xlI=2 = ln 1 - ln 2 = -ln 2...x-2第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 例2 解 例3 解 = π 3 − ( − π 4 ) = 7 12π