《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）1.8 函数的连续性与间断点

第八节函数的连续性与间断点函数的连续性函数的间断点

第八节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 二、函数的间断点

第一章函数与极限一、函数的连续性1.函数的增量设函数f(x)在U.(xo)内有定义，VxEU(xo），△x=x-x称为自变量在点xo的增量可正、可负可正△y=f(x)-f(xo)称为函数f(x)相应于△x的增量y4可负y-f(x)xo+Ax)Ayf(xo)可为0Ax0XoXo+Ax第八节函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限 一、函数的连续性 1. 函数的增量 可正、可负 可正 可负 可为0

第一章函数与极限2.连续的定义设函数y=f(x）在点x。的某一邻域内有定义，如果limAy=lim[f(xo+x)-f(xo))=0,Ax-0AX-定义1那么称函数y=f（x）在点x连续设x=xo+x,则△x-0即x→xo,Ay→0即f(x)→f(xo)设函数y=fx）在点x的某一邻域内有定义，如果limf(x)=f(xo),定义2x-xo那么称函数y=f（x）在点x连续2-定：0当x-xo<s时，恒有f(x）-f(xo）<s第八节函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限 定义2 定义1 2. 连续的定义

第一章函数与极限可见，函数f(x）在点xo连续，必须同时满足如下三个条件：(1)f(x)在点xo有定义,即f(xo)存在;(2)f(x)在点xo有极限,即limf(x)存在;X-(3)f(x)在点xo的极限值等于函数值,即limf(x)=f(xo)x→xolimf(x)=f(xo)即：f(x）在x连续←X-X1sin0,例如：函数f(x)在x=0处连续0,F0第八节函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限 例如: ᵆsin 1 ᵆ ,  ᵆ≠ 0,  0,         ᵆ= 0

第一章函数与极限3.单侧连续如果函数f(x)在(a,xol内有定义,且 lim_f(x)=f(xo)X-x0则称f(x）在点xo处左连续如果函数f(x)在[xo,b)内有定义,且limf(x)=f(xo),x→x0则称f(x）在点xo处右连续定理函数f(x)在xo处连续-f(x)在xo处既左连续又右连续即：f(x）在xo连续limf(x）=limf（x）=f(xo）X-x0X→x0第八节函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限 3. 单侧连续 定理 第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限

第一章函数与极限4.连续函数与连续区间1）在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续例如：有理整函数P(x)=αo+aix＋…+anxn是(o,+o)上的连续函数: Vxo E (-00,+o0),有 lim P(x) = P(xo).X→xoP(x)有理分式函数R(x)在其定义域内连续Q(x)：只要Q(xo）≠0,就有lim R(x）=R(xo)x→xo第八节函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限 4. 连续函数与连续区间 例如: 第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限

第一章函数与极限(2)如果函数f(x)在开区间(α,b)内连续，则f(x)在左端点x=a处右连续，在右端点x=b处左连续闭区间[a,b]上的连续函数的集合记作C[a,b]连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线第八节函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限

第一章函数与极限例证明函数y= sinx在区间(-o0,+o)上连续证任取x E(-00,+80),AxAxAy = sin(x + △x) - sinx= 2 sinCOS22Ax1对任意的α,当a 0时,有|sinα|< α故≤2 sin:limAy=0Ax即函数y=sinx对任意xE（8o,+o)都是连续的同理可证y=cosx也是(oo,+oo)上的连续函数第八节函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限 例 证

第一章函数与极限二、函数的间断点1.间断点的定义设f(x)在xo的某去心邻域内有定义,如果x不是函数f(x)的连续点，则称x为f（x）的间断点有以下三种情形：(1)f(x)在点xo处没有定义;(2)函数f(x)在xo点虽有定义,但limf(x)不存在；X-xo(3)f(x)在点xo处有定义，limf(x)存在,但limf(x)±f(xo)x-xox→xo第八节函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限 二、函数的间断点 有以下三种情形： 1.间断点的定义

第一章函数与极限2.间断点分类：第一类间断点：左极限limf(x),右极限lim.f(x)均存在x→xox→x0limf(x）=limf(x)，称xo为可去间断点x→x0→x0limf(x）±limf(x)，称xo为跳跃间断点x→xox→x0yAy可去型跳跃型0oxxxoXo第八节函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限 2. 间断点分类：