《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）7.2 可分离变量的微分方程

第二节可分离变量的微分方程一、概念及解法二、典型例题

第二节 可分离变量的微分方程 一、概念及解法 二、典型例题

第七章微分方程概念及解法如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx1.定义的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程dy例如：= 2xdy = 2xdxdxdy12xydy = 2xdxdx第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程 1.定义 如果一个一阶微分方程能写成 那么原方程就称为可分离变量的 微分方程. 例如: 一、概念及解法

第七章微分方程2.解法步骤1分离变量dy将fi(x)f2(y) 或 ((d± ((d 0dx)d (d转化为步骤2两边积分g(y)d则=+是微分方程的通解，其中函数G(y)和F(x)依次是g(y)和f(x)的原函数第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程 2. 解法 步骤1￾分离变量 步骤2￾两边积分 或 ᵆ1(ᵆ)ᵆ2(ᵆ)dᵆ+ ᵆ1(ᵆ)ᵆ2(ᵆ)dᵆ= 0 转化为        ᵆ(ᵆ)dᵆ= ᵆ(ᵆ)dᵆ 则 ᵆ(ᵆ) = (ᵆᵆ) + 是微分方程的通解 ᵆ

第七章微分方程二、 典型例题dy例求微分方程=3x2y的通解dx说明：在求解过程中每dy解分离变量得3x2dx一步不一定是同解变形y因此可能增、减解dy3 x?dx两边积分yInlyl =x3 +C1或Inlyl=x3+In|Cl得y=e+3+Ci=±eC1e*3即令C=±eC1，则y=Cex3（C为任意常数）（此式含分离变量时丢失的解y=0)第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程 二、典型例题 例 解 分离变量得 两边积分 得 即 或 因此可能增、减解. (此式含分离变量时丢失的解y = 0) (C为任意常数)

第七章微分方程例2已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变铀原子的含量M成正比，已知0时铀的含量为M。，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律入前置负号？dM解根据题意有-ΛM (α>0)其中：dtdMMlt=0=Mo为衰变速度dt对方程分离变量，然后积分入为衰变系数MA得 lnM =-t + In C,即M= Ce-ΛtMo利用初值条件，得日故所求铀的变化规律为M=Moe-at第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程 例2 解 对方程分离变量, 然后积分 ￾￾λ 前置负号？ 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变铀原子的含量 M成正比,已知ᵆ= 0时铀的含量为M0, 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间t的变化规律. 根据题意,有 利用初值条件,￾得ᵆ= ᵆ0 故所求铀的变化规律为

第七章微分方程例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时(t=O)速度为0求降落伞下落速度与时间的函数关系dv解mGkv,m根据牛顿第二定律列方程dtult = 0 = 0.初值条件为/R=-kudvdt分离变量,得mmg-kvP=mg1t两边积分，得-ln(mg- kv)+ C.km第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程 解 例3 初值条件为 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时(t = 0)速度为0,求降落伞下落速度 与时间的函数关系. 根据牛顿第二定律列方程 mᵆ− kv

第七章微分方程1t+C，lt=o=0-ln(mg-kv) =一km1利用初值条件，得- ln(mg)C=kkmg代入上式后化简，得特解12mEkVA由此可以看出随着时间的增加mgmgk速度逐渐接近于常数k如图所示，0t第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程 速度逐渐接近于常数 如图所示. 第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程

第七章微分方程例4有高1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积S=1cm2.开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h随时间t的变化规律，解由力学知水从孔口流出的流量为hd V1m文=kS/2ghQ=h+dhhdto流量系数重力加速度孔口截面面积即dV=ks/2ghdt其中k=0.62,S=1cm=10-4m,9.8m/s2第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程 例4 解 即 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面 求水从小孔流出过程中, 容器里水面的高度h随时间t的变化规律. 由力学知,水从孔口流出的流量为 其中k = 0.62, S = 1cm = 10− 4m, ᵆ= 9.8m/s 2

第七章微分方程设在[t,t+dt]内水面高度由h降到h+dh(dh<0),对应下降体积dV=-元r2dhr=/12-(1-h)2=/2h-h2h1mXAh+dh2dV =-π(2h - h2)dh0因此得微分方程初值问题kS/2ghdt =-T(h-h2)dh微小量分析法hlt =0= 1第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程 对应下降体积 因此得微分方程初值问题 微小量分析法 设在[t, t + dt]内,水面高度由h降到h + dh (dh < 0), dV = − πr 2dh

第七章微分方程kS /2ghdt = -T(h - h2)dh, hlt = o = 1.31TT—h2)dh将方程分离变量dt =(2hz2ksy.2g(4325Th2h2 + C两端积分，得t =135ks/2g14利用初值条件hlt=0=1得C= - 15第二节可分离变量的微分方程

第二节 可分离变量的微分方程 第七章 微分方程 将方程分离变量 两端积分,得 C = − 14 15