《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）§2.2 向量及其线性运算

线性代数 第二章新乐我桃川科S 2.2向量及其线性运算一、n维向量的概念二、n维向量的线性运算三、向量空间与子空间

线性代数 第二章 二、n维向量的线性运算 一、n维向量的概念 §2.2 向量及其线性运算 三、向量空间与子空间

线性代数 第二章一、n维向量概念教州尔秋城川料由n个数组成的有序数组(aj,az,.…a)称为一个n维定义2.2.1向量.记作：α= (ai, az, ... ,an)其中第i个数a,（i=1,2,.,n）称为n维向量α的第i个分量或坐标否则称为复向量分量全为实数的向量称为实向量以后我们用小写希腊字母α,β,来代表向量。我们讨论的主要是实向量

线性代数 第二章 由n个数组成的有序数组(a1 , a2 , . an )称为一个n维 向量. 记作:  = ( a1 , a2 , . ,an ) 其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, . , n ) 称为 n 维向量  的第 i 个分量或坐标. 一、n维向量概念 定义2.2.1 分量全为实数的向量称为实向量， 否则称为复向量. 我们讨论的主要是实向量 以后我们用小写希腊字母    , , 来代表向量

线性代数 第二章我尔我桃川例如，n元线性方程(8)中第i(1≤i≤m)个方程aix, +aix, +...+ainx, =b,的系数和常数项对应着一个n+1维向量(ai,ai2,."",ain,b,)而该方程的一个解x, = Cj,x,=C2,,x,=c,可用一个n维向量 (cj,C2,",cn)来表示，,该方程组的解构成的n维向量叫做该方程组的解向量规定：两个向量α=(ai,az,…an),β=(b 1,b 2,.…. bn)相等,记作α=β(i=1, 2,..., n)a;= bi

线性代数 第二章 规定：两个向量 = ( a1 , a2 , . an ),  = (b 1 , b 2 , . b n )相等, 记 作  =  ai = bi ( i = 1, 2, . , n) 1 1 2 2 1 2 (8) (1 ) 1 ( , , , , ) i i in n i i i in i n i i m a x a x a x b n a a a b   + + + = + 例如， 元线性方程 中第 个方程 的系数和常数项对应着一个 维向量 1 1 2 2 1 2 , , , ( , , , ) . n n n x c x c x c n c c c n 而该方程的一个解 = = = 可用一个 维向量 来表示，该方程组的解构成的 维 向量叫做该方程组的解向量

线性代数 第二新乐我桃川科零向量0 =(0, 0, ... , 0)负向量对 α=(ai, az,.…. an)称（一ai,一az,.….,一an)为α的负向量.记为一α—α=(—ai,—a2,...,—an)行向量α=(ai, az, ..., an)列向量aiaz=(a,a, ., a,)α=.an

线性代数 第二章 零向量 0 = ( 0, 0, . , 0 ) 负向量 对  = ( a1 , a2 , . an ) 称 ( －a1 , －a2 , ., －an ) 为 的 负向量.记为－. － = (－a1 , －a2 , ., －an ) 行向量  = ( a1 , a2 , ., an ) 列向量 1 2 1 2 ( , , , )T n n a a a a a a        = =      

线性代数第二章教南乐我桃川料注意：1．行向量和列向量只是写法上不同，而本质上并没有区别2．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

线性代数 第二章 注意: １．行向量和列向量只是写法上不同，而本 质上并没有区别. ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；

线性代数 第二章我南乐我桃川料二、n维向量的线性运算定义2.2.2 设α= (a1, a2, .., an),β= (b 1, b 2, ..., b n)都是n维向量，向量(a,+bi,az+b2，……,an+bn)称为向量α与β的和，记作α+β，即α+β=(ai+bi,az +b2,...,an+bn由负向量即可定义向量的减法：α -β=α+(β)=(ai -b1, ...,an-bn)

线性代数 第二章 定义2.2.2 设 = ( a1 , a2 , ., an )，  = (b 1 , b 2 , ., b n ) 都是n维向量，向量( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn )称为向量与 的和，记作+，即  +  = ( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn ) 二、n维向量的线性运算  － =  + (－ ) =( a1 － b1 , ., an － bn ) 由负向量即可定义向量的减法：

线性代数 第二章我尔我桃川定义2.2.3设α=（ai,az,…,an），是实数，定义Aα=(aai,Aa2,...,an)称为数与向量α的乘积，记作入α，简称为数乘数入与向量α的乘积的性质有：(1) 0 α= 0 (2) (- 1)α=-α (3) 20 = 0(4)如果0，α0，那么α0.向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算

线性代数 第二章  = (  a1 ,  a2 , .,  an ) 称为数与向量的乘积，记作，简称为数乘. 设 = ( a1 , a2 , ., an 定义2.2.3 )， 是实数，定义 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算. 数与向量的乘积的性质有: (1) 0 (2) ( ) (3) 0 0 (4) 0 0.        = = − =    ０ -１ 如果 ０， ，那么

线性代数 第二章新乐我桃川科向量的线性运算满足八条运算律设α、β、是n维向量，0是n维零向量，k、l是任意实数。(5)k(α+β) =kα+kβ(1)α+β=β+α(2)(α+β)+=α+(β+)(6)(k+l)α=kα+lα(3)α+0=α(7)(kl)α=k(lα)(4)α+(α)=0(8)1α= α

线性代数 第二章 向量的线性运算满足八条运算律 (1)  +  ＝  +  (2) ( +  ) +  ＝  + (  +  ) (3)  + 0 ＝  (4)  + (－ ) ＝ 0 设  、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量，k、 l 是任意实数。 (5) k ( +  ) ＝ k + k (6) ( k + l )  = k + l (7) ( k l )  = k ( l ) (8) 1· = 

线性代数 第二章我尔我桃川科例1设α=(1，3，-2，2),β=(5，1，-2，0),若已知α+2=3β，求向量解：由α+2=3β得 = =(3β-a) =[(15,3,-6, 0) -(1,3,-2,2)121(14,0,-4,-2) = (7,0,-2,-1)[5]37-1-7例2已知向量α,=3,3α,-4α,=17，求向量2α+3αz2-284

线性代数 第二章 例1 设 =(1，3，-2，2) ,  = ( 5，1，-2，0 )， 若已知 +2 =3，求向量 . 解:由 +2 = 3 得 1 (3 ) 2   = − a 1 [(15,3, 6,0) (1,3, 2,2)] 2 = − − − 1 (14,0, 4, 2) 2 = − − = − − (7,0, 2, 1) 1 1 2 1 2 5 3 1 7 2 3 4 2 3 . 3 17 2 2 4 8              − −     = − = +         −             例 已知向量 ， ，求向量

线性代数 第二章3我新尔我然有-7解：由3α,-4α,=17-28得53123-1-743173-8-2=α,42-282

线性代数 第二章 1 2 3 7 3 4 17 2 8       −   − =     −      解：由 2 5 3 1 7 1 (3 ) 3 17 4 2 2 4 8          − −     = −         −             得 12 3 4 1 1 8 2 4 8 2 4 1             = =     − −                