《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）第五章 相似矩阵与二次型 5-1 向量的内积与正交向量组

第5章相似矩阵与二次型85.1向量的内积与正交向量组85.2方阵的特征值与特征向量85.3相似矩阵85.4实对称矩阵的相似对角形85.5二次型及其标准型85.6正定二次型

第5章 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量 §5.1 向量的内积与正交向量组 §5.3 相似矩阵 §5.4 实对称矩阵的相似对角形 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 正定二次型

$ 5.1向量的内积及正交向量组、内积的定义及性质向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换五、小结思考题

二、向量的长度及性质 五、小结 思考题 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 一、内积的定义及性质 §5.1 向量的内积及正交向量组

线性代数 第五章一、P内积的定义及性质定义5.1.1设有n维向量biaib2a2B=α=·b0令 [α,β]=a,b +a,b, +...+a,b,称[α,β]为向量α与β的内积.可记为:[α, β] = α'β

线性代数 第五章 一、内积的定义及性质 1 1 2 2 . , . , 511 n n n a b a b a b           = =                 定义 设有 维向量   1 1 2 2 , n n 令   = + + + a b a b a b 称    , 为向量 与 的内积.   2. , , , : , .       =  内积是向量的一种运算 如果 都是列 向量 内积可用矩阵记号表示为 可记为：

线性代数 第五章内积的运算性质(其中α,β,为n维向量,a为实数)：(1)[α,β]=[β,α];)[α,β]=[α,β];(2)(3) [α+β,]=[α,]+[β,](4)[α,α]≥0,且当α 0时有[α,α]>0

线性代数 第五章 内积的运算性质 (其中    , , , : 为n维向量 为实数) (1) , , ;      =   (2) , , ;       =   (3) , , , ;        + = +      (4) [ , ] 0, 0 [ , ] 0.         且当 时有

线性代数 第五章二、向量的长度及性质定义5.1.2非负数/α,α]=a+a++a称为向量α的长度(或范数)，记作αll向量的长度具有下述性质：1.非负性 当α±0时,α>0;当α=0时,α=0;2.齐次性 2αl=2α;3.三角不等式α+β≤α+β

线性代数 第五章 定义5.1.2   2 2 2 1 2 , . n   a a a   非负数 = + + + 称 长度(或范数 量 的 ) 为向 ，记作 向量的长度具有下述性质： 1. 0 , 0; 0 , 0; 非负性 当      = = 时 当 时 2. ; 齐次性    = 3. . 三角不等式     +  + 二、向量的长度及性质

线性代数 第五章当|α=1时,称α为单位向量,1如果α±0,有长度的概念得α就是一个单位向量α用非零数去乘以向量α得到一个与α同方向的α单位向量，通常称为把向量α单位化

线性代数 第五章 当   = 1 , . 时 称 为单位向量 1   0, .  如果  有长度的概念得 就是一个单位向量 1 .     用非零数 去乘以向量 得到一个与 同方向的 单位向量，通常称为把向量 单位化

线性代数 第五章三、正交向量组的概念及求法1.正交的概念当[x,=0时,称向量x与正交由定义知若x=0,则x与任何向量都正交2.正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组

线性代数 第五章 1.正交的概念 2.正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 三、正交向量组的概念及求法

线性代数 第五章3.标准正交向量组：若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组向量组ej,e2,…,e,是标准正向量组0, i± j且i,j=1,2,..,n.←[e;,e;]=1, i=j且i,j=1,2,..,n

线性代数 第五章 若正交向量组中每个向量都是单位向量,则称 该向量组为标准正交向量组. 1 2 , , , 0, , 1,2, , . [ , ] 1, , 1,2, , . n i j e e e i j i j n e e i j i j n   =  =   = = 向量组 是标准正向量组 且 且 3.标准正交向量组:

线性代数 第五章定理5.1.1正交向量组是线性无关向量组证明：设有αi,α2,…,αm是正交向量组，若有k,α, +k,α, +...+kmαm=0用a,与等式两边做内积,得k,[α,α,]=0i=1,2,...,m由α, 0,有[α;,α;]>0,从而得k, =0 i=1,2,...,m.故α,αz,.…,αm线性无关

线性代数 第五章 定理5.1.1 正交向量组是线性无关向量组. 证明： 1 1 2 2 0 m m k k k    + + + = , i 用a 与等式两边做内积 得 1 2 , , , 设有   m 是正交向量组，若有 0, [ , ] 0, 由   i i i   有 从而得 0 1,2, , . i k i m = = 1 2 , , , . 故   m 线性无关 [ , ] 0 1,2, , i i i k i m   = =

线性代数 第五章设αj,α,,α,是r维向量空间V的一个基,若α,α，…,α,两两正交，则称α,α,α,是向量空间V的一个正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基(或正交规范基）

线性代数 第五章 1 2 , , , r V 则称   是向 量空间 的一个正交基， 1 2 , , , r 设   是r V 维向量空间 的一个基， 1 2 , , , 若  r 两两正交， ( ). 由单位向量组成的 标准正交基 或正交 正 称为 规范基 交基