《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 复级数

第四章复级数复数项级数和幂级数84-1 2n S4-2 Taylor级数Laurent级数$4-3

* 第四章 复级数 n §4-1 复数项级数和幂级数 n §4-2 Taylor级数 n §4-3 Laurent级数

S 4-1复数项级数和幂级数复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径四、幂级数的运算性质

* §4-1 复数项级数和幂级数 一、复数列的收敛性及其判别法 二、复数项级数的收敛性及其判别法 三、幂级数及其收敛半径 四Δ、幂级数的运算性质

一、复数项级数1. 复数列复数列即有序的复数集(a, =aa2,L an,L 称(a,}若收敛于lim a,- ao0n??记作lima,=aon??

* 一、复数项级数 复数列即有序的复数集 称 收敛于 ，若 记作 1. 复数列

复数列收敛与实数列收敛的关系定理复数列(a,}=ia,+ib,(n=1,2,L）收敛于a的充要条件是lima, =a,limb, =b.nRYnRY此定理说明：可将复数列的收敛性转化为判别两个实数列的收敛性

* 复数列收敛与实数列收敛的关系 定理 此定理说明: 可将复数列的收敛性转化为判别两 个实数列的收敛性. 复数列 收敛于a 的充要条件是

2.复数项级数的收敛性及其判别法1.复数项级数设 (a,}=(an+ib,}(n=1,2,L)为一复数列?aan=a, +a,+L +a,+L表达式n=1称为复数项级数..前n项的和nSn=aak=a,+a,+L +ank=1称为级数的前n项部分和

* 1.复数项级数 表达式 称为复数项级数. 前 n 项的和 称为级数的前 n 项部分和. 2. 复数项级数的收敛性及其判别法 设 为一复数列

2.级数收敛与发散的概念Y如果部分和数列s,收敛，则称级数aa,收敛n=1且极限limS,=S称为级数的和nRYY若部分和数列{S,不收敛，则称级数aα,发散n=1说明：与实数项级数相同，判别复数项级数敛散性的基本方法是：利用极限limS. = S.n?Y

* 2. 级数收敛与发散的概念 说明：与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散 性的基本方法是:

3.复数项级数与实数项级数收敛的关系定理2级数aα，=a（a，+ib,）收敛的充要条件是：n-n=1aaYa,和ab,都收敛n=1n=1证因 S,=a,+a2+L +a=(a, +a2 +L +an)+i(b, +b, +L +bn=sn+itn说明复数项级数的收敛问题U两个实数项级数的收敛问题

* 3.复数项级数与实数项级数收敛的关系 证 因 定理2 说明 复数项级数的收敛问题 两个实数项级数的收敛问题

级数收敛的必要条件（定理3）X因为实数项级数aa,和ab,收敛的必要条件是n=1n=1lima,=0 和 limb,=0.nRYnRY?所以复数项级数α,收敛的必要条件是n=1lima, = 0n?Y

* 级数收敛的必要条件（定理3）

类似于实数级数，引入绝对收敛概念￥aan为绝对收敛如果aa，收敛，那末称级数n=1n-1非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数

* 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 如果 收敛, 那末称级数 为绝对收敛. 类似于实数级数，引入绝对收敛概念

绝对收敛级数的性质（定理4）￥如果aa，收敛，那末aa，也收敛n=1n=1￥a￥oat且有不等式aann=1n=1成立。￥Y1aα,绝对收敛Ujaa,与ab,绝对收敛n=1n=1n=1

* 绝对收敛级数的性质(定理4) 且有不等式 成立