《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）1.4 无穷小与无穷大

高等数学第八版同济大学数学科学学院编

高等数学 第八版 同济大学数学科学学院 编

本章重点第一章函数一研究对象分析基础极限一研究方法连续一研究桥梁函数与极限连续函数常量极限变量研究初等研究高等研究桥梁数学数学对象方法

第一章函数与极限 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 常量 初等 数学 变量 高等 数学 函数 研究 对象 极限 研究 方法 连续 研究 桥梁

目录第一章CONTENTS第一节映射与函数第二节数列的极限第四节第三节函数的极限无穷小与无穷大第六节第五节极限运算法则极限存在准则两个重要极限第八节第七节函数的连续性与间断点无穷小的比较第九节第十节连续函数的运算与初等闭区间上连续函数的性质函数的连续性

CONTENTS 目 录 第一章 第一节 映射与函数 第三节 函数的极限 第二节 数列的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限运算法则 第七节 无穷小的比较 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第八节 函数的连续性与间断点 第九节 连续函数的运算与初等 函数的连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质

第四节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大

第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷大

第一章函数与极限一、无穷小如果函数f（×）当×→X。（或x→8）时的极限为零，则称函数定义1f(×)为当×→X。（或x→α8）时的无穷小，特别的，以零为极限的数列（xn」称为n→8时的无穷小例如：lim(x－1)=0,函数 1 为当1时的无穷小;x-→111lim-=0,函数=为当Φ>8时的无穷小；x-00 x(-1)n-17lim0时的无穷小数列为当8VnImn-00第四节无穷小与无穷大

第四节 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限 一、无穷小 定义1 如果函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限为零， 则称函数 f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷小. 例如: 为当 函数 为当 时的无穷小; 函数 时的无穷小; 数列 为当 时的无穷小. ᵰ− 1 ᵰ→1 1 ᵰ ᵰ→∞ ᵰ→∞

第一章函数与极限提问：1.很小的数，比如2-100是无穷小吗？X2.函数=是无穷小，这句话对吗？注（1）无穷小是变量，不能与很小的数混淆;(2)零是可以作为无穷小的唯一的数；（3）注意无穷小的严格说法（与自变量的变化趋向有关）；（4）无穷小量必有界lim f (x) = 0 V > 0,38 > 0,当0 0,3X > 0, 当|x|>X时, If(x)I < .x-→o第四节无穷小与无穷大

第四节 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限 （3）注意无穷小的严格说法（与自变量的变化趋向有关）； （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆 （; 2）零是可以作为无穷小的唯一的数； （4）无穷小量必有界. 注 提问： 1 ᵰ

第一章函数与极限定理1（无穷小与函数极限的关系）lim f(x) = A(=时的无穷小量口其中为x-x0下面给出自变量趋于无穷大时的情形.其他变化过程也类似可证limf (x)=A0=4其中为8时的无穷小量X证limf(x）=A0,0，当>时，有X0If(x) -Al<F0-lim α=0X→第四节无穷小与无穷大

第四节 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限 定理1（无穷小与函数极限的关系） ᵰ(ᵰ) =ᵰ+ ᵰ, 其中￾ 为ᵰ→ᵰ0 时的无穷小量. 下面给出自变量趋于无穷大时的情形.其他变化过程也类似可证. ᵰ(ᵰ) =ᵰ+ ᵰ, 其中￾ 为ᵰ→∞ 时的无穷小量. 证 ∀ᵰ> 0,∃ᵰ> 0, 当|ᵰ| > ᵰ 时,有 ᵰ= ᵰ(ᵰ) −ᵰ 第四节 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限

第一章函数与极限无穷大二、如果函数f（×）当XX。（或X→80）时的绝对值无限增大，那么称函数f（×）为当×→X。（或×→8）时的无穷大，记作定义2limf(x)=o(或limf(x)=o):x-xo史优用极健做极兩迅穷大例如：11lim=00,函数二为当中0时的无穷大；x-0 xlim en = ,数列(e"}为当>80时的无穷大n-00第四节无穷小与无穷大

第四节 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限 二、无穷大 例如: 函数 为当 时的无穷大; 数列 为当 时的无穷大. 1 ᵰ ᵰ→0 ᵰ→∞ 只是借用极限的记号而已， 为方便，也读做极限为无穷大 如果函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的绝对值无限增大， 定义2 那么称函数f(x)为当x→x0（或x→∞）时的无穷大. 记作

第一章函数与极限X提问：1.很大的数，比如2100是无穷大吗？2.函数x2是无穷大，这句话对吗？注(1)无穷大是变量，不能与很大的数混；(2)切勿将 lim f(x)=c(或 limf(x)=co)认为极限存在;(3)注意无穷大的严格说法（与自变量的变化趋向有关）lim f (x) = 8 vM > 0,38 > 0,当0 MX-→xolim f (x) = 80 VM > 0,3X > 0,当|xl > X时,If(x)I> MX-8第四节无穷小与无穷大

第四节 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限 注 提问：

第一章函数与极限（4）无穷大量必无界.但反之不真！例如：函数 f(x) = x cosx,x E(-00,+o0)（1）取x=2k元,k=0,±1,±2,±3,则f(x)=2k,当k充分大时,f(x）>My所以f(x)无界y-xcosx(2)取xk=2kπ+=,k=0,1,2,3,...2则f(xk)= 0,所以当x→8时,f(x)不是无穷大第四节无穷小与无穷大

第四节 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限 （4）无穷大量必无界.但反之不真！ 例如: 函数 第四节 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限