《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）2.3 高阶导数

第三节高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数求导法则举例

第三节 高阶导数 一、高阶导数的概念 二、高阶导数求导法则举例

第二章导数与积分一、高阶导数的概念1.问题：变速直线运动的加速度位置函数= s (tsds速度或=sV =dtdvd(ds)d2s记作加速度a=dtdt2dt(dt)叫做s对t的二阶导数（记作或口==aS所以直线运动的加速度就是位置函数S对时间t的二阶导数第三节高阶导数

第三节 高阶导数 第二章 导数与积分 一、高阶导数的概念 1. 问题: 变速直线运动的加速度 所以直线运动的加速度就是位置函数s￾对时间t￾的二阶导数. S￾′′ 记作 记作 位置函数 ￾￾s￾￾=￾s￾(t￾ ), 叫做s￾对t￾的 二阶导数 加速度 或                  a = ᵆ′ = (ᵆ′)′

第二章导数与积分2.高阶导数的定义如果函数y=f(x）的导数y=f(x）可导，则称f(x）的导数定义dydf(x)或为f（x）的二阶导数.记作f"(α）,ydx2dxdey二阶导数的导数称为三阶导数，f"(x),ydx3d4三阶导数的导数称为四阶导数，f(4)(x),y(4)dx一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数d dnydn-1即二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数dxn-1dxndx第三节高阶导数

第三节 高阶导数 第二章 导数与积分 2. 高阶导数的定义 定义 二阶导数的导数称为三阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 记作 三阶导数的导数称为四阶导数

第二章导数与积分例3证明：函数y=V2x-x2满足关系式y3y"+1=02-2x1-xy解V2x-x22V2x-x22 -2x-V2x-x2-(1-x)-(2x - x2) - (1 - x)22V2x-22x-x2(2x —x2) V2x- x211于是3y+1=0.得证V3(2x - x2) V2x - x2第三节高阶导数

第三节 高阶导数 第二章 导数与积分 例3 解

第二章导数与积分设y=sin x, 求y(n)例5I解y'= cos x = sin (×+2)1= cos((x+sinsiny"= cos (x+2.)= sin(x+3·TIy(m)=sin (x + n 2)即(sinx）)(n)=sinx+2同理可得(cosx)(n)=cos(x+第三节高阶导数

第三节 高阶导数 第二章 导数与积分 例5 解 同理可得

第二章导数与积分例6 设y= In(1 +x),求 y(n)例4设y=eax,求y(n),11解y' = aeax,1+xy"y=解(1 + x)2y"=a?eax2!3!V'l(1 + x)3- y(4) = -(1 + x)4y"=a3eaxy(n)= a"eax,(n - 1)!y(n) =(-1)n-1 (n≥1, 0!=1)(eax)(n)=a"eax(1+x)n[In(1+x)](n) =(-1)n-1(n- 1)!(n=1,0!=1)特别有（er)(n）=er(1 +x)n第三节高阶导数

第三节 高阶导数 第二章 导数与积分 . 例4 解 例6 解

第二章导数与积分高阶导数求导公式和法则1.常用高阶导数公式(eax)(n) = a"ex (ex)(n) = ex(1) (a*)(n) =ax.lnn a(a>0)TT(2) (sin kx)(n) = knsin ((kx+n2)TT(3) (cos kx)(n) = kncos (kx+n2)(4) (xi)(n) = μ(μ-1)(μ-n+1) xu-n第三节高阶导数

第三节 高阶导数 第二章 导数与积分 二、高阶导数求导公式和法则 1. 常用高阶导数公式

第二章导数与积分2.高阶导数的运算法则设函数u=u(x),V=v(x)具有n阶导数,则(1) (u±v)(n)=u (n)± v(n)(2) (Cu)(n)=Cu(n)(C 是常数)n(n - 1)n-(3) (u.v)(n)=u(n)v +nu(n-1)v'+2!n(n - 1) ... (n - k +1)u(n -k)v(k) +.. + uv(n)十k!n简记为(uv)(n)=Chu(n-k) (k).莱布尼茨公式k=0第三节高阶导数

第三节 高阶导数 第二章 导数与积分 2. 高阶导数的运算法则 莱布尼茨公式

第二章导数与积分3.高阶导数求导举例例8 设=x2e2×,求y(20),解设u=e2x,V=x2 u(k) = 2ke2x (k = 1, 2, , 20)v(k) = 0 (k = 3, , 20)代入莱布尼茨公式20(20-1)y(20) =(e2x)(20). x2+20(e2x)(19) . (x2)4(e2x)(18).x2)"+02!= 220e2x(x2 +20x+95)第三节高阶导数

第三节 高阶导数 第二章 导数与积分 3. 高阶导数求导举例 例8 解 代入莱布尼茨公式