《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）6.3 定积分在物理学上的应用

第三节定积分在物理学上的应用、变力沿直线所作的功-二、水压力三、引力四、转动惯量

第三节 定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所作的功 三、引 力 二、水压力 四、转动惯量

第六章定积分的应用变力沿直线所作的功回顾：常力沿直线所做的功W=F·口问题：设物体在连续变力F(x）作用下沿x轴从x=α移动到x=b,力的方向与运动方向平行，求变力所做的功解决方法：微元法在[a,b]上任取子区间「x,x+dxl,在其上所作的功元素为dW = F(x)dxbxx+dxaxrb因此变力F(x)在区间[ab] 上所作的功为W=F(x)dxa第三节定积分在物理学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 一、变力沿直线所作的功 x 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 . a x x + dx b 上所作的功为 解决方法:微元法 回顾: 问题: 常力沿直线所做的功 W = F ⋅ ᵰ. x = b, 在其上所作的功元素为 [a,b]

第六章定积分的应用例1在一个带+9电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷α处移动到b处（a<b)，求电场力所作的功解当单位正电荷距离原点r时，由库仑定律电场力为qF=A+11+口r2.口口口kq口口中口dr则功的元素为dW22bkg7所求功为W2bPkq+kq注电场在r=a处的电势为drr2aa第三节定积分在物理学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 例1 一个单位正电荷沿 求电场力所作的功.￾ ᵰ ᵰ 解 由库仑定律电场力为 ᵰ ᵰ ᵰ+ ᵰ ᵰ 则功的元素为 所求功为 注 + ᵰ + 1 ᵰ 电场在 r = a 处的电势为 = kq a

第六章定积分的应用例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点α处移动到点b处求移动过程中气体压力所作的功：解建立坐标系如图.由物理学知压强kkp与体积V成反比,即 p==xs,故作用在活塞上的k力为F=p·S:SkdW=Fdx-dx功元素为bxxx+ dxx口abkbW所求功为-dx= k[lnxib = k lnxa第三节定积分在物理学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 例2 求移动过程中气体压力所作的功 . 解 建立坐标系如图. 由物理学知压强 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 由于气体 x p = k V = k xS, F = p ⋅ S = k x dW = S ᵰ a x + dx b x

第六章定积分的应用例3一蓄满水的圆柱形水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满了水试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？（设水的密度为p）解建立坐标系如图.取x为积分变量则xE[0,3]0在任一小区间[xx+dh上的一薄层水的重力为口p·π32dx(kN)x5m这薄层水吸出桶外所作的功（功元素）为x+dxdw = 9πgp xdx故所求功为3mx25x=112.5元（kl）9元gpxdx =9元W:210第三节定积分在物理学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 解 一薄层水的重力为 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 5 0 3m 例3 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?￾￾（设水的密度为ρ） 建立坐标系如图. 取x为积分变量,则x ∈ [0,3]. ᵰ x 5m x ᵰ⋅ (kN) 在任一小区间 [x,x + d]ᵰ上的 dW = 9π ᵰ = 112.5πᵰ(kJ)

第六章定积分的应用二、水压力回顾：液体的压强等于液体的比重乘以液体的深度，即p=p口hP=A当平板与水面平行时,平板一侧所受的压力为问题：当平板铅直放置在水中时，求平板所受的压力（侧压力）解决方法：微元法第三节定积分在物理学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 二、水压力 回顾: 问题: 解决方法:微元法 求平板所受的压力（侧压力）. P = ᵰA 液体的压强等于液体的比重乘以液体的深度，即 p = ρᵰ⋅ ℎ

第六章定积分的应用例4一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为p的液体，求桶的一个端面所受的侧压力解建立坐标系如图所讨论半圆的方程为y=±VR2-x2(0≤≤利用对称性，侧压力元素x+dx5m2gpx/R2- x2 d甲 3m端面所受侧压力为R2gpR3P2 gpx/R2- x2dx =3第三节定积分在物理学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 例4 求桶的一个端面所受的侧压力.￾ 解￾￾￾￾￾￾￾建立坐标系如图所讨论半圆的方程为 . 端面所受侧压力为 ᵰ= (0 ≤ ᵰ≤ ᵰ) dᵰ

第六章定积分的应用注当桶内充满液体时,小窄条上的压强为gp（R+x)，侧压力元素dP=2gp(R+×)/R2—×2dx故端面所受侧压力为RP =2gp(R +x )VR2-x2dxy-Rx+dxRRVR2-x2dx奇函数4Rgp定积分的几何意义1一TR24Rgp:4= Tgp R3第三节定积分在物理学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 定积分的几何意义 注

第六章定积分的应用三、引回顾：人质量分别为m1,m2的质点相距r.二者间的引力mim2大小: F= Gm2r2方向：沿两质点的连线mi问题：求物体对质点的引力解决方法：微元法第三节定积分在物理学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 三、引力 回顾: 问题： 解决方法:微元法 求物体对质点的引力. 大小: 方向: 沿两质点的连线 质量分别为m1 ,m2的质点,相距r. 二者间的引力:

第六章定积分的应用例5设有一长度为l,线密度为μ的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点的引力，解MdF建立坐标系如图.细棒上小段dF[ d对质点的引力大小为dF= GmdxdF口x故垂直分力元素为0号-2dFy=-dFcosαdxmudxa=-G-Gmuaα2+x2(a2 + x2)2第三节定积分在物理学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用 第六章 定积分的应用 例5 该棒对质点的引力. 解 建立坐标系如图. 细棒上小段 对质点的引力大小为 故垂直分力元素为 在其中垂 试计算 [ᵰ,+ dᵰ]