《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.10闭区间上的连续函数的性质

第十节闲区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介质定理三、小结

第十节 闭区间上连续函数的性质 • 一、有界性与最大值最小值定理 • 二、零点定理与介质定理 • 三、小结

一、有界性与最大值最小值定理定义：对于在区间I上有定义的函数f(x),如果有xEI,使得对于任一xeI都有f(x)≤ f(x)(f(x)≥ f(x)则称f(x)是函数f(x)在区间I上的最大(小)值例如, y=1+ sin x,在[0,2元]上,Jmax =2,ymin =0;y = sgn x,在(-00,+o0)上, ymax = 1, ymin = -1;在(0, +o)上, Jmax = Ymin = 1

一、有界性与最大值最小值定理 0 0 0 0 ( ), , ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) . I f x x I x I f x f x f x f x f x f x I     对于在区间 上有定义的函数 如果有 使得对于任一 都有 则称 是函数 在区间 上的最大 义 小 ： 值 定 例如, max min y x y y       sgn , ( , ) , 1, 1; 在 上 max min 在(0, ) , 1.    上 y ymax min y x y y     1 sin , [0,2 ] , 2, 0; 在  上

）在闭区间上连续定理1（最大值和最小值定理）的函数有界且一定能取得它的最大值和最小值Xy=f(x)y=f(x)X元0d42>注1.若区间是开区间，定理不一定成立；2.若区间内有间断点，定理不一定成立

定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数有界且一定能取得它的最大值和最小值. 2  1   注 1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. o

二、零点定理与介值定理定义：如果x,使f(x)=0，则x,称为函数f(x)的零点定理2(零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,bl上连续且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0)，那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a<<b), 使得f()= 0.即方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根

0 0 0 ( ) 0, ( ) . 定义 如果 x f x x f x 使  则 称为函数 的零点 ： 二、零点定理与介值定理 即方程 f x a b ( ) 0 ( , ) .  在 内至少存在一个实根 ( ) [ , ] ( ) ( ) ( ( ) ( ) 0 2( ) ( , ) ( ) ( ) ) 0. ) ( f x a b f a f b f a f b a b f x    a b f      设函数 在闭区间 上连续， 且 与 异号 即 ，那么在开区 间 内至少有函数 的一个零点，即至少有 一点 ，使得 定理 零点定理

几何解释：连续曲线弧y= f(x)的两个端点位于x轴的不同侧,则曲线弧与x轴至少有一个交点Vy=f(x)0aiEE3A6

3  2  1  几何解释: ( ) , . y f x x x 连续曲线弧  的两个端点位于 轴的 不同侧 则曲线弧与 轴至少有一个交点

设函数f(x)在闭区间[a,bl上连续定理3(介质定理)在这区间的端点取不同的函数值f(a) = A及f(b) = B那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点(a<<b), 使得f()=.V连续曲线弧几何解释：MRy=f(x)与水平直线y=CE至少有一个交点，a0bXXAm

MBCAm a x 1  1  2  3 x 2 b x y ( ) y  f ( x ) . y f x y C   连续曲线弧 与水平直线 至少有一 几 解释：个交点 何 ( ) [ , ] ( ) ( 3( ) ) ( , ) ( ) ( ) . f x a b f a A f b B A B C a b a b f          设 函 数 在 闭 区 间 上连续， 在这区间的端点取不同的函数值 及 那么，对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使得 定理 介质定理

证 设β(x)= f(x)-C,则p(x)在[a,b]上连续且p(a)= f(a)-C= A-C,p(b)= f(b)-C= B-C,日≤e(a,b),使:Φ(a)·p(b)<0, 由零点定理,g(5)=0, 即p(5)= f(5)-C=0, f(5)=C.推论：在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域为闭区间[m,M，其中m与M依次为f()在[a,b]上的最小值与最大值即：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值

     ( ) ( ) 0, a b 由零点定理,   ( , ), a b 使  ( ) 0,  即   ( ) ( ) 0,    f C   f C ( ) .  证 设( ) ( ) , x f x C   则( ) [ , ] , x a b 在 上连续 且( ) ( ) , a f a C A C     ( ) ( ) , b f b C B C     推论：在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)的值 域为闭区间[m, M],其中m与M依次为f(x)在 [a, b]上的最小值与最大值. 即：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M与最小值m 之间的任何值

例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根。证 令 f(x)=x3 -4x2 +1, 则f(x)在[0,1]上连续又 f(0)=1>0,f(1)=-2<0,由零点定理,(0,1), 使f()= 0, 即 3 -42 +1= 0,:方程x3-4x2+1=0在(0,1)内至少有一根≤

例 1 3 2 4 1 0 (0,1) . 证明方程 x x    在区间 内 至少 有一根 证 3 2 令 f x x x ( ) 4 1,    则f x( ) [0,1] , 在 上连续 又 f (0) 1 0,   f (1) 2 0,    由零点定理 ,      (0,1), ( ) 0, 使f 3 2 即     4 1 0, 3 2     方程x x4 1 0 (0,1) . 在 内至少有一根

例2 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)b. 证明 E(a,b), 使得 f()=证 令 F(x)= f(x)-x, 则F(x)在[a,b]上连续,而 F(a)= f(a)-a 0,由零点定理,(a,b), 使F()= f()-=0,即 f()=5

例2 ( ) [ , ] , ( ) , ( ) . ( , ), ( ) . f x a b f a a f b b a b f         设函数 在区间 上连续 且 证明 使得 证 令 F x f x x ( ) ( ) ,   则F x a b ( ) [ , ] , 在 上连续 而 F a f a a ( ) ( )    0, 由零点定理,   ( , ), a b 使 F f ( ) ( ) 0,       F b f b b ( ) ( )    0, 即 f ( ) .   

例3 设f(x)在[0,2a]上连续，且f(0)= f(2a)证明[O,a)使f()=f(+a)证记F(x)= f(x)- f(x+a)则F(x)在[0,a]上连续([0,a]即F(x)的定义域且F(0)= f(0)- f(a)F(a) = f(a)-f(2a)= f(a)- f(0)若f(0)= f(a) 则=0即为所求若f(O)± f(a) 则F(0)·F(a)<0由零点定理知 (0,a)使F()=0即f()=f(+a)总之[0,a)使f()= f(+a)

例3 ( ) [0,2 ] (0) (2 ) [0, ) ( ) ( ) f x a f f a    a f f a      设 在 上连续，且 证明 使 证 记F x f x f x a ( ) ( ) ( )    则 F x a a F x ( ) [0, ] ([0, ] ( ) ) 在 上连续 即 的定义域 且F f f a (0) (0) ( )   F a f a f a f a f ( ) ( ) (2 ) ( ) (0)     若f f a (0) ( )  则  0即为所求 若f f a (0) ( )  则F F a (0) ( ) 0   由零点定理知      (0, ) ( ) 0 a F 使 即f f a ( ) ( )     总之        [0, ) ( ) ( ) a f f a 使