《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章_7.6高阶线性微分方程

第六节高阶线性微分方程一、概念的引入二、 线性微分方程的解的结构三、小结

第六节 高阶线性微分方程 • 一、概念的引入 • 二、线性微分方程的解的结构 • 三、小结

一、概念的引入例1设有一弹簧下挂一重物，如果使物体具有一个初始速度v。≠0，物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动，试确定物体的振动规律x=x(t)解受力分析1.恢复力f =-cx;.X一m·2.阻力R=-μx

解 受力分析 1.恢复力 f  cx; 2. ; dt dx 阻力 R   x x o 一、概念的引入 0 1 0 ( ). v x x t   例 设有一弹簧下挂一重物，如果使物体具有一个 初始速度 ，物体便离开平衡位置，并在平衡位 置附近作上下振动，试确定物体的振动规律

d'x一:F=ma, ..m=-cx-μdt?uC移项，并记2n =mmd'xdxkx=0物体自由振动的微分方程+2n+dtdt?若受到铅直干扰力F=Hsin pt,H得记hmd'x一2n强迫振动的方程+k'x = hsin pt+dt?

F  ma, , 2 2 dt dx cx dt d x m    2 2 2 2 0 d x dx n k x dt dt    物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力 F  H sin pt, 2 2 2 2 sin d x dx n k x h pt dt dt    强迫振动的方程 2 2 , μ c n k m m 移项，并记   H h m 记  得

例2.设有一个电阻R，自感L,电容C和电源E串联组成的电路,其中R,L，C为常数，E=Esinのt,求电容器两两极板间电压u.所满足的微分方程，R提示：设电路中电流为i(t)，极板上的电量为q(t)，自感电动势为 ELE由电学知Cdidq.aX-q=E.=1Kdtdt根据回路电压定律：在闭合回路中，所有支路上的电压降为0diqE-LRi=0Cdt

求电容器两两极板间电压 d 0 d i q E L R i t C     例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , sin , E E  m ωt uc 所满足的微分方程 . 提示: 设电路中电流为 i(t), ∼~ ‖ L E R K C  q  q 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 , i EL 由电学知 d , d q i t  , C q u C  d d L i E L t   根据回路电压定律: 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串 极板 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0

duc,故有化为关于u.的方程：注意i=Cdtd'ucduc +uc = E.sin otLC+RCdt?dtRR令β=02LLC人人LEC串联电路的振荡方程：+u-q Kd'ucEducm+2βsinot+0udt?LCdt如果电容器充电后撤去电源（E=0），则得d'ucduc +wiuc=0+2βdt?dt

0 1 , 2 R β ω L LC 令   2 2 2 0 d d 2 sin d d C C m C u u E β ω u ωt t t LC    串联电路的振荡方程: 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 2 2 2 0 d d 2 0 d d C C C u u β ω u t t    ~ ‖ L E R K C  q  q i 2 2 d d sin d d C C C m u u LC RC u E ωt t t    化为关于 uc 的方程: d , d uC i C t 注意  故有

一般的d'ydyP(x)++Q(x)y = f(x)dx?dx二阶线性微分方程当 f(x)=0时,二阶线性齐次微分方程当f(x)丰0时,二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程y(n) +a(x)y(n-1) +...+an-I(x)y' +a,(x)y = f(x)

二阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dx dy P x dx d y    当 f x( ) 0  时， 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 一般的 当 f x( ) 0  时， ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n y a x y a x y a x y f x        

二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构：(1)y" + P(x)y'+Q(x)y = 0定理1 如果函数y;(x)与y(x)是方程(1)的两个解,那么y=Cy +C,y,也是方程(1)的解.(Cj,C,是常数)

1.二阶齐次方程解的结构: y   P(x) y  Q(x) y  0 (1) 二、线性微分方程的解的结构 1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) (1) ( 1 1) .( ) , y x y x y C y C y C C   如果函数 与 是方程 的两个解， 那么 也 定 是方程 的解 是常数 理

证：将 =C,ji(x)+C,jz(x)代入方程左边，得[CJ"+ C,J" I+P(x)[CJ" +C2J’]+Q(x)[Ci +C2y2]= C, [y"+ P(x)y' +Q(x)y]+C, [y" + P(x)y2 +Q(x)y2l= 0证毕问题：=CiJ+C2J2一定是通解吗？

1 1 2 2   P x C y C y ( )[ ]   1 1 2 2   Q x C y C y ( )[ ]  0 证毕 证: 1 1 2 2 将 y C y x C y x   ( ) ( )代入方程左边，得 1 1 2 2 [ ] C y C y    1 1 1 1    C y P x y Q x y [ ( ) ( ) ]   2 2 2 2    C y P x y Q x y [ ( ) ( ) ]   1 1 2 2 问题：y C y C y   一定是通解吗？

说明：y=Ci(x)+C,y,(x)不一定是所给二阶方程的通解例如，J(x)是某二阶齐次方程的解，则J2(x)=2 yi(x)也是齐次方程的解但是Ci(x)+C,y2(x) =(C, +2C2)yi(x)并不是通解为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与线性无关概念

说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 1 y x( ) 是某二阶齐次方程的解, 2 1 y x y x ( ) 2 ( )  也是齐次方程的解 1 1 2 2 1 2 1 C y x C y x C C y x ( ) ( ) ( 2 ) ( )    并不是通解 但是 1 1 2 2 y C y x C y x   ( ) ( ) 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念

定义：设yi,y2,…,y,为定义在区间I内的n个函数，如果存在n个不全为零的常数，使得当x在该区间内有恒等式kiy +k,y, +...+k,yn = 0成立，那么就称这n个函数在内线性相关否则称为线性无关例如 当x E(-0,+o0)时，e,e-×,e2×线性无关1，cos?x，sinx线性相关又如，1,x,x2,若在某区间I上k,+k,x+kx2=0

例如 x x 2 2 1，cos , sin x x x e e e 2 , ， 线性无关 线性相关 当x     ( , )时， 2 1 , , , x x 若在某区间 I 上 2 1 2 3 又如， k k x k x    0 , 1 2 1 1 2 2 , , , 0 . n n n y y y I n n x k y k y k y n I     设 为定义在区间 内的 个 函数，如果存在 个不全为零的常数，使得 当 在该区间内有恒等式 成立，那么就称这 个函数在 内线性相关， 否则称为线 定 ： 性无关 义