《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章_1.9连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结

第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 • 一、四则运算的连续性 • 二、反函数与复合函数的连续性 • 三、初等函数的连续性 • 四、小结

四则运算的连续性定理1若函数f(x)，g(x)在点x,处连续f(x)则 f(x)±g(x), f(x)·g(x),(g(x.)± 0)g(x)在点x处也连续例如，sin x,cosx在(-oo,+o)内连续故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续

一、四则运算的连续性 0 0 0 ( ), ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ( ) 0) 1 ( ) . f x g x x f x f x g x f x g x g x g x x    若函数 在点 处连续 则 在点 定 处也连续 理 例如, sin x,cos x在(− ,+ )内连续, 故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续

二、反函数与复合函数的连续性如果函数y=f(x)在区间上单调增加（或定理27单调减少）且连续，那么它的反函数x=f-（y)也在对应的区间上1单调增加（或单调减少）且连续元元例如, y=sinx 在[-号量止单调增加且连续,故y=arcsinx在[-1,1]上也是单调增加且连续同理y=arccosx在[-1,1]上单调减少且连续；y=arctanx,y=arccotx在[-oo,+ool上单调且连续反三角函数在其定义域内皆连续

二、反函数与复合函数的连续性 例如, sin [ , ] , 2 2 y x   = − 在 上单调增加且连续 故 y = arcsin x 在[−1,1]上也是单调增加且连续. y f x = ( ) 1 x f y( ) − = x 定理2 如果函数 在区间 I 上单调增加（或 单调减少）且连续，那么它的反函数 也在 对应的区间上 单调增加（或单调减少）且连续. y I 同 理 y = arccos x 在[−1,1]上单调减少且连续; y = arctan x, y = arccot x 在[− ,+ ]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续

定理3设函数y= f[g(x)由函数u= g(x)与函数y= f(u)复合而成,U(x)cDfo若 lim g(x)= uo，而函数y=f(u)X→Xo在点u=u,处连续,则lim f[g(x)] = lim f(u) = f[u l.u-→lox→xo证f(u)在点u=u,连续>0,n>0,使当u-u<n时恒有f(u)-f(u)<ε成立

定理3 0 0 0 0 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) lim ( ) ( ) , lim [ ( )] lim ( ) [ ]. f g x x x x u u y f g x u g x y f u U x D g x u y f u u u f g x f u f u → → → = = =  = = = = = 设函数 由函数 与函数 复合而成， ( ) .若 ，而函数 在点 处连续 则 证 0 f u u u ( ) , 在点 = 连续 0 0 0, 0, , ( ) ( ) . u u f u f u         −  −  使当 时 恒有 成立

又:: lim g(x) = uox-→xo对于>0,>0,使当00,8>0,使当0x-x8时f(u)-f(u)=f[g(x))-f(u)/<成立:. lim f[g(x)]= lim f(u) = f(u) = f[lim g(x)]X-→Xou-→uox→xo

0 0 恒有 g x u u u ( ) . − = − 成立 将上两步合起来: 0, 0, 0 ,      使当  x − x0   时 0 0 f u f u f g x f u ( ) ( ) [ ( )] ( ) − = −   成立. 0 0 0 lim [ ( )] lim ( ) ( ) x x u u f g x f u f u → →  = = 0 [lim ( )]. x x f g x → = 0 0 lim ( ) , x x g x u → 又 = 0, 0, 0 , 对于    使当  x − x0   时

意义1.极限符号可以与函数符号互换：2.变量代换(u= g(x)的理论依据log,(1 +x)例1求limx-0x解原式 = lim log.(1 +x)x-0= log,[lim(1 + x)* ] = logaInax-0x:x→0时,log.(1+x)~Ina

意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2. ( ( )) . 变量代换 u g x = 的理论依据 例1 0 log (1 ) lim . a x x → x + 求 1 . lna = 1 0 lim log (1 ) x a x x → 原式 = + 1 0 log [lim(1 ) ] x a x x → = + loga = e 解 0 log (1 ) ~ ln a x x x a  → + 时

例2求limx-0x解令 a*-1= y, 则x =log.(1+ y)当→0时,→0.1y原式=limlimIna.=1y-→0y-o log.(1+ y)loga(1 + y)..x→0时, a*-1~xlna

例 2 0 1 lim . x x a → x− 求 = ln . a 0 lim log (1 ) y a y → y = + 原式 解 1 , x 令 a y − = log (1 ), a 则 x y = + 当x → 0时, y → 0. 1 0 1 lim log (1 ) y y a y → = + 0 1 ~ ln . x  → − x a x a 时

定理4 设函数y= f[g(x)由函数u= g(x)与函数=f(u)复合而成，U(x)Drog.若函数u=g(x)在x,点连续，且g(x)=uo，函数y=f(u)在点u,处连续,则复合函数y=f[g(x)在x点连续。注意定理4是定理3的特殊情况例如,u=二在(-00, 0)U(0, + 0)内连续,Xy = sinu 在(-o0, + oo)内连续: y = sin = 在(-o0, 0) U (0, + 0)内连续,X

定理4 0 0 0 0 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , [ ( )] f g y f g x u g x y f u U x D u g x x g x u y f u u y f g x x = = =  = = = = 设函数 由函数 与函数 复合而成， ( ) .若函数 在 点连续,且 ,函数 在点 处连 续 则复合函数 在 点连续。 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, 1 u ( , 0) (0, ) , x = − +  在 内连续 y = sinu 在(− , + )内连续, ( , 0) (0, ) . 1  = sin 在 −   +  内连续 x y

三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.指数函数y=a*(a>0,a≠l)在(-80,+8)内单调且连续;对数函数y=log,x(a>0, a±1)在(0,+8)内单调且连续;

三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. ★ ★ y = a (a  0, a  1) 指数函数 x 在(− ,+ )内单调且连续; ★ y = log x (a  0, a  1) 对数函数 a 在(0,+)内单调且连续;

y=xu =aulogax一y=a",u=μlog.x讨论μ不同值，在(0,+8)内连续（均在其定义域内连续）定理5基本初等函数在定义域内是连续的定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间

定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. ★  y = x x a a  log = , u y = a u log x. =  a 在(0, + )内连续, 讨论不同值, (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间