《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章_7.7常系数二阶齐次线性微分方程

第七节常系数齐次线性微分方程、定义一二、二阶常系数齐次线性方程解法三、n阶常系数齐次线性方程解法

第七节 常系数齐次线性微分方程 • 一、定义 • 二、二阶常系数齐次线性方程解法 • 三、n阶常系数齐次线性方程解法

一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式y(n) + piy(n-I) +...+ Pn-iy'+ pny = f(x)二阶常系数齐次线性方程的标准形式y" + py' + qy = 0二阶常系数非齐次线性方程的标准形式y" + py' + qy = f(x)其中，p、q是常数

( ) ( 1) 1 1 ( ) n n n n y p y p y p y f x         n阶常系数线性微分方程的标准形式 y py qy      0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y py qy f x      ( ) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 其中，p、q是常数. 一、定义

二、二阶常系数齐次线性方程解法----特征方程法y" + py' + qy = 0设=e，将其代入上方程,得(r2 + pr +q)ex = 0: erx +0,特征方程故有 r2+ pr+q= 0特征根 ri,=二p±Vp"-4q2

-特征方程法 , rx 设 y  e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2    rx r pr q e  0, rx e 故有 2 r pr q    0 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r    特征根  y   py  qy  0 二、二阶常系数齐次线性方程解法

(△ > 0)有两个不相等的实根特征根为r,=二P+p"-4gp-p-4qr=二22两个线性无关的特解Jz =e2xYi =e'i*,e得齐次方程的通解为 =C,e'ix +C

 有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r     , 2 4 2 2 p p q r    1 1 , r x y e  2 2 , r x y e  两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 1 2 1 2 ; r x r x y C e C e   ( 0)   特征根为

(△ = 0)有两个相等的实根pi =e'ix特征根为 r =r =一特解为2设另一特解为 yz =u(x)e'ix将z，，代入原方程并化简，u" +(2r + p)u'+(r? + pr +q)u = 0,知 u"=0，取 u(x)=x，贝则 y, = xe'ixy=(C +C,x)eix:得齐次方程的通解为

 有两个相等的实根 1 1 , r x , y e  2 1 2 p r  r   ( 0)   一特解为 得齐次方程的通解为 1 1 2 ( ) ; r x y C C x e   将 y2 y2 ，y2  代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u  r1 p u r1 pr  q u  知 u   0, 取 u(x)  x, 1 2 , r x 则 y xe  ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y  u x e 特征根为

(<0)有一对共轭复根特征根为r=α+i,r=α-iβ,Ji=e(a+ip)x =ea(cosβx+isinβx)yz =e(a-ip)x = ea*(cos βx-i sin βx)重新组合 Ji=(y + y2)= e cos βx,21(yi - y2) = ea sin βx,y22i得齐次方程的通解为y = eax(C cos βx +C, sin βx)

 有一对共轭复根 , r1    i , r2    i ( ) 1 i x y e     ( ) 2 i x y e     ( 0)   重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y  y  y e cos x, x    ( ) 2 1 2 1 2 y y i y   e sin x, x    得齐次方程的通解为 1 2 ( cos sin ). x y e C x C x      特征根为 (cos sin ) x e x i x      (cos sin ) x e x i x     

小结：由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤（1）写出相应的特征方程：（2）求出特征根：（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解(见下表）

二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表) 小结: 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法

方程：y"++q=0(p,q为常数)特征方程：r2+pr+q=0,特征根:ri,z通解特征根'21y=C,e'i* +C,e"￥2实根i=r=-Py=(C, +C,x)e'ix2r,z =α±iβy=eax(C cosβx+C, sinβx)

y p y q y p q      0 ( , ) 为常数 2 特征方程: r pr q    0 , 1 2 1 2 r x r x y C e C e   1 2 特征根 : , r r 1 2 r r  实根 1 2 2 p r r    1 1 2 ( ) r x y C C x e   1 2, r i     1 2 ( cos sin ) x y e C x C x      特 征 根 通 解 方程：

例1求方程"-2y'-3y=0的通解解：特征方程 r2-2r-3=0,特征根：r =-1,r,=3,因此原方程的通解为 y=C,e-×+C,e3xd"'sds+2+s=0dt?dt例2.求解初值问题ds=-2=4St=0dtt=0解：特征方程r2+2r+1=0有重根 r =r =-1，因此原方程的通解为 s=(C, +C,t)e-tCi =4, C, =2利用初始条件得于是所求初值问题的解为 s=(4+2t)e-

求方程 y y y      2 3 0 的通解. 解: 特征方程 2 r r    2 3 0, 特征根: 1 2 r r    1 , 3 , 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 2 2 d d 2 0 d d s s s t t    0 4 , t s   d 2 d 0 s t t    解: 特征方程 2 r r    2 1 0 有重根 1 2 r r   1 , 因此原方程的通解为 1 2 ( ) t s C C t e   利用初始条件得 1 C  4, 于是所求初值问题的解为 2 C  2 3 1 2 x x y C e C e    例1 (4 2 ) t s t e  

例3求方程"+2y'+5y=0的通解解特征方程为 r2+2r+5=0.解得r, = -1±2i.故所求通解为y = e-*(C cos2x +C, sin2x)

求方程 y 2 y  5 y  0的通解. 解 特征方程为 2 r r    2 5 0 , 解得 1 2 r i ，   1 2 , 故所求通解为 1 2 ( cos 2 sin 2 ). x y e C x C x    例3