《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章_7.3齐次方程

第三节齐次方程、齐次方程*二、可化为齐次方程

一、齐次方程 *二、可化为齐次方程 第三节 齐次方程

一、齐次方程dy=g()形如的微分方程称为齐次方程1.定义=x例如:(xy- )dx =(x2-2xy)dyVxy- y?dydy可化为：x即：dxx?-2xydx1-2()作变量代换u=,即 y=xu,2.解法北dudydx=u+xdx

一、齐次方程 2 2 例如： ( ) ( 2 ) xy y dx x xy dy    2 2 2 dy xy y dx x xy    可化为： ( ) dy y dx x 形如   的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , y u x 作变量代换  即 y xu  , , dy du u x dx dx    1.定义 2 ( ) 1 2( ) y y dy x x dx y x    即：

du= p(u),u+x代入原式dxduq(u)-u即可分离变量的方程dxx分离变量得：dudxp(u)-ux两端积分得：du得(m)-=[

, ( ) du dx  u u x   得   代入原式 ( ), du u x u dx    ( ) . du u u dx x   即  可分离变量的方程 分离变量得： ( ) du dx  u u x   两端积分得：

例1 求方程 (x- ycos)dx+ xcos=dy =0.xx1dy_y解：原方程整理得dxyxcosxdudy令u=,则= x+u,dxdxrdu于是原方程变为一x+u=u-dxcosudx即 cosudu=sinu=-In|x|+Cx= -In|x|+C.微分方程的解为sinx

例1 求方程 (  cos )  cos dy  0. x y dx x x y x y y dy du u x u x dx dx 令    ，则 ， 1 cos du x u u dx u 于是原方程变为    cos , dx udu x 即   sinu  ln | x | C, sin ln . y x C x 微分方程的解为    解:原方程整理得 1 cos dy y dx x y x  

求方程(1+e )ydx=(x-y)dy的通解分析把x看作v的函数.求解比较方便一dxdxX解齐次方程-dydy1VV1+edxduu==,则令Jx=uyu+2dyydy一du方程变为(u-1)u+y一udy1te可分离变量方程

分析 把x看作y的函数,求解比较方便. 解 d 1 ( 1) d 1 x y x x y y e     , y x 令 u  则 x  uy, , d d d d y u u y y x   方程变为 d 1 ( 1) d 1 u u u y u y e      齐次方程 可分离变量方程 d d x x f y y        (1 ) ( ) x y e ydx x y dy  求方程    的通解

1du(u-1)u+ydy1+eeu1+1分离变量du =dyu+e"y两边积分In(u+e")=-In y+InC即y(u+e")= Cx得通解x+ye"=C

两边积分 u e y C u ln(  )   ln  ln 即 y u e C u (  )  得通解 x ye C y x   分离变量 y y u u e e u u d 1 d 1    d 1 ( 1) d 1 u u u y u y e    

例3.在制造探照灯反射镜面时，要求点光源的光线反射出去有良好的方向性，试求反射镜面的形状解：设光源在坐标原点，取x轴平行于光线反射方向则反射镜面由曲线y=f(x)绕x轴旋转而成T过曲线上任意点M(x,y)作切线MTytM入射角=反射角由光的反射定律：可得ZOMA = Z OAM= αP0Ax从而AO = OML而 AO= AP-OP=ycotα-x=xOM = /x? +y于是得微分方程：-X=X十

o y x 可得 OMA =  OAM =  例3. 在制造探照灯反射镜面时, 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 y f x  ( ) 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角   y x cot y x y   2 2 OM x y   T M A P  y  取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM   AP OP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : y 2 2 x x y y    

利用曲线的对称性，不妨设y>0，于是方程化为dx(齐次方程)-+1()令v=兰,则x=yv,dyvdxv+y-dyydydy+dyv+/1+μ?=y积分得 In(v+1+2）=ln y-InCCy?2yV=1(-v)~ =1+v2故有C2CC代入yV=x,得y=2C(x+(抛物线)2故反射镜面为旋转抛物面

利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0,   d 2 1 d x x x y y y    则 x yv  , , x v y 令  d 2 1 d v y v y   d d d d x v v y y y   2 积分得 ln( 1 ) ln ln v v y C     故有 2 2 2 1 y y v C C   代入 y v x  , 得 2 2 ( ) 2 C y C x   (抛物线) 2 2 ( ) 1 y v v C    故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程)

y2 =2C(x+号)V说明：若已知反射镜面的底面直径为d，aA6hx顶到底的距离为h，则将Cd(-号, 0)=h,x+V122d?代入通解表达式得C8h这时旋转曲面方程为d?y?+z?x+=4h16h

顶到底的距离为 h , 2 8 d C h  说明: 2 2 2 ( ) C y C x  , 2 2 C d x h y    则将 这时旋转曲面方程为 2 2 2 2 4 16 d d y z x h h          h 若已知反射镜面的底面直径为 d , d 代入通解表达式得 ( , 0) 2 C  o y x A

*二、可化为齐次方程的方程dyax+by+c(c +c +0)dxax+by+cib1.当"±时，作变换x=X+h,=Y+k(h,k为待ba定常数),则dx=dX，dy=dY，原方程化为dYaX+bY+ah+bk+cdXa,X+bY+a,h+bk+cah+bk+c=0令解出h,ka,h+b,k+c=0dYaX+bY(齐次方程）dXa,X+b,Y

( h, k 为待 2 2 1 1 1 1 d ( 0) d y a x by c c c x a x b y c        1 1 1. , a b a b 当  时 作变换 x X h y Y k     , 则 d d , d d , x X y Y   原方程化为 1 1 1 0 0 a h bk c a h b k c          令 , 解出 h , k 1 1 d d Y a X bY X a X b Y    (齐次方程) 定常数), 1 1 1 1 1 d d Y a X bY a h bk c X a X b Y a h b k c          *二、可化为齐次方程的方程