《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）5.3 定积分的换元法和分部积分法

第三节定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法

第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法

第五章定积分一、换元公式定理1假设函数在[止连续函数满足条件(1)==口(2)在[]或[上具有连续导数且其值域于[则有bf(x)dx =/ f[α Jp'(t)dt.Ja定积分换元公式第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 一、换元公式 定理1 定积分换元公式 则有 ᵱ ᵱ(ᵱ) ᵱ 假设函数ᵱ()ᵱ在[,ᵱ]上连续, 函数ᵱ= ᵱ(ᵱ)满足条件 (1) ᵱ(ᵱ) = ᵱ,(ᵱ) = ;ᵱ (2) ᵱ(ᵱ)在[ᵱ,] 且其值域ᵱᵱ= [ᵱ,], (或[ᵱ,])上具有连续导数

第五章定积分证设F(x)是f(αx)的一个原函数,则f(x) dx = F(b) -F(a)记(=[],: ( =() : (=[(：是（的一个原函数f[p(t)]p'(t)dt = Φ(b) -Φ(a) =[-[= F(b) - F(a)证毕f[p(t)]p'(t) dt.f(x)dx :第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 证毕 证 记ᵱ(ᵱ) = ᵱ[ᵱ(ᵱ)], ∵   ᵱ′ (ᵱ) = ᵱ′ (ᵱ(ᵱ)) ⋅ ᵱ′ (ᵱ) = ᵱ[ᵱ(ᵱ)] ᵱ′ (ᵱ), ∴ ᵱ(ᵱ)是ᵱ[ᵱ(ᵱ)] ᵱ′ (ᵱ)的一个原函数, = ᵱ[ᵱ(ᵱ)] − ᵱ[ᵱ(ᵱ)]

第五章定积分bBf[ ]幼 dt注定积分换元公式f (x)dxaa（1）当时，换元公式仍成立；（2）换元必换限原函数中的变量不必代回.（3）换元公式也可反过来使用，即6cβ令x = β(t)dt1幼f (x)dxf[幼E年aα-βrβ配元不换限！1 f[dt =f[或配元Jdp(t)αa第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 注 定积分换元公式 配元不换限! ᵱ(ᵱ) ᵱ ′ (ᵱ) （1）当ᵱ> ᵱ时, 换元公式仍成立; 或配元 ᵱ(ᵱ) ᵱ ᵱ(ᵱ) ′ (ᵱ) （2）换元必换限,原函数中的变量不必代回. （3）换元公式也可反过来使用, 即 ᵱ(ᵱ) ᵱ ′ (ᵱ) ᵱ= ᵱ(ᵱ),ᵱ= ᵱ(ᵱ)

定积分第五章TT2例2计算cos5 x sin xdx .不写出换元则不需要换限JoTT解2令t = cosx,dt =-sinxdx,cos5 x sin xdx元So→日 0,=2TMCoscosxE0=日1J0coFI2t5dt1原式=cos6xJ1610116I6:66=0第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 例2 解 不写出换元,则不需要换限 ᵱ= π 2 ⇒ᵱ= 0, ᵱ= 0 ⇒ᵱ= 1. 原式 = 1 6 = . 1 6

第五章定积分T例3计算sin3 x - sin5 x dx.03解原式=sin3 x(1 - sin2x)dx =Icos xI(sin x)2dx0TTTU'233cos x (sinx)2dx(sinx)2dxcos x (Tt02T"TT233(sin x)2d sin x(sin x)2d sin xT2E24TT2255(sin x)2(sinx)2125.1055第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 例3 解 = 4 5

第五章定积分4x+2例4计算dxV2x+10t2 -1dx = tdt,且解令t=V2x+1.则x=2当年0时，1；当x=4时3t2-13+ 2c312原式二(t2 +3)dttdt?2J1tJ1223t323第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 例4 解 且 当 ᵱ= 0 时, ᵱ= 1; ᵱ= 3 . ∴￾￾￾￾原式￾= 3 1 = 22 3

第五章定积分例5设为［一口止的连续函数a则(1)若口=(f(x)dx = 2f(x)dx ;-a8ra则(2）若仁=-（f(x)dx = 0.-a偶倍奇零由定积分的几何意义（面积的代数和）可得y=f(x)y=f(x)O+7S1X第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 例5 设ᵱ(ᵱ)为[ − ᵱ, ᵱ]上的连续函数. （1）若ᵱ( − ᵱ) = ᵱ(ᵱ), （2）若ᵱ( − ᵱ) = − ᵱ(ᵱ), 由定积分的几何意义(面积的代数和)可得. 偶倍奇零

第五章定积分-a0a证f(x)dx =f(x)dxf(x)dx-a-a0aa令一口f(x) dxt)dt[f(-x) +f(x)] dx-af(x)dx，口=0f(-x) = -f(x)偶倍奇零奇、偶函数在对称区间上的定积分性质第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 偶倍奇零 证 令ᵱ= − ᵱ = ᵱ( − ᵱ) = ᵱ(ᵱ), 0

第五章定积分例6若在[0,1]上连续证明2F(1)f(sin x)dx :f(cos x)dx01TTTTTxsinxT(2)f(sinx)dx.由此计算dxxf (sin x)dx =21 + cos2x0T2.0设x=t,dx=-dt2证f(cost)dt(1)f(sin x)dx2TF/22f(cosx)dx.证毕f(cost)dt =第二节积分上限的函数及其导数

第二节 积分上限的函数及其导数 第五章 定积分 证 例6 若ᵱ(ᵱ)在[0,1]上连续,证明 证毕