《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）4.1 不定积分的概念与性质

第一节不定积分的概念与性质，原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质

第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质

第四章不定积分一、原函数与不定积分的概念1.原函数的定义如果在区间上，可导函数F（x）的导函数为f(x），即对任一XEI都有定义1F(x) = f(x) 或 dF(x) = f(x)dx则称F（x）为f（x）或f(x）dx在区间I上的一个原函数例：(sinx)'=cosx,sinx是cosx的一个原函数.1: (ln x)' =(x>0),: Inx是x在区间(0,+)内的一个原函数X第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 定义1 一、原函数与不定积分的概念 1. 原函数的定义 如果在区间I上,  可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一 x ∈ I,都有 或 dF(x) = f(x)dx 则称F(x)为f(x)或f(x)dx在区间I上的一个原函数. ∴ lnx是 1 x在区间(0,+ ∞)内的一个原函数. F ′ (x) = f(x) 例

第四章不定积分1在什么条件下一个函数的原函数存在？问题：2若原函数存在它如何表示？定理1若函数f(x)在区间上连续，则f(x)在I上存在原函数(下章证明初等函数在定义区间上连续1初等函数在定义区间上有原函数第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 问题： (下章证明 初等函数在定义区间上连续 ) 初等函数在定义区间上有原函数 定理1 若函数f(x)在区间 I上连续, 则f(x)在I上存在原函数. 1.在什么条件下,一个函数的原函数存在? 2.若原函数存在,它如何表示?

第四章不定积分定理2若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的所有原函数都在函数族F(x)+ C(C为任意常数)内，证: (F(x) + C)= F(x) = f(x)原函数不唯一.:F(x）+C是f(x)的原函数即(x) = f(x).设(x)是f(x)的任一原函数，则: [x) - F(x)}°= (x) - F(x)(= f(x) - f(x) = 0,x)-F(x)=Co(Co为某个常数),原函数间的关系即 (x) =F(x) + C。属于函数族F(x) + C .第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 证 原函数间的关系 原函数不唯一 定理2 若F(x)是f(x)的一个原函数, 则f(x)的所有原函数都在 函数族 F(x) + C(C为任意常数)内. ∵  (F(x) + C) ′= F ′ (x) = f(x), ∴ F(x) + C是 f(x)的原函数. 设ᵯ(x)是f(x)的任一原函数, 即ᵯ ′(x) = f(x). 则  ∵ [ᵯ(x) − F(x)] ′ = ᵯ ′(x) − F ′ (x) = f(x) − f(x) = 0, ∴ ᵯ(x) − F(x) = C0(C0为某个常数), 即 ᵯ(x) = F(x) + C0 属于函数族F(x) + C . 第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分

第四章不定积分2.不定积分的定义设F（x）是f(x）在区间上的任一原函数，则f(x）的全部定义2原函数的一般表达形式F（x）十C称为f（x）在区间I上的不定积分，F(x) = f(x)F(x)dx=F(x)+C记为积分号被积函数被积表达式积分变量积分常数不可丢第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 定义2 积 分 变 量 积 分 常 数 被 积 函 数 被 积 表 达 式 不定积分. 积 分 号 2. 不定积分的定义 记为 不可丢 设F(x)是f(x)在区间I上的任一原函数, 则f(x)的全部 原函数的一般表达形式 F(x) + C称为f(x)在区间I上的 F ′ (x) = f(x)

第四章不定积分x5 dx.例求6解+ C.661例求dx11解(arctan x)'=dx=arctanx+C.1 +x2第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 例 例 解 解

第四章不定积分由不定积分的定义，可知d(2) d[/ f(x)dx) = f(x)dx;f(x)dx= f(x);(1)dxF'(x)dx = F(x) + C;(3)[dF(x) = F(x) + C.(4)结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的求导f(x)F(x)求导逆过程不定积分过程第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 求导 求导逆过程 不定积分过程 结论: 由不定积分的定义,  可知 F(x) f(x)

第四章不定积分3.不定积分的几何意义函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线显然，求不定积分得到一积分曲线族在同一横坐标X=X。处任一曲线的切线有相同的斜率中Xo第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 O x ᵯ 3.不定积分的几何意义 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 在同一横坐标x = x0 处,任一曲线的切线有相同的斜率 x0

第四章不定积分例3设曲线通过点(1,2)且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程yAy=x2+1 y=2x解y=x22xdx=x2+ C:y=所求曲线过点(1,2),故有0+2 = 12 + C..C=1.因此所求曲线为y=x2+1./=2x的积分曲线族第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 故有 y ′ = 2x的积分曲线族 例3 解 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点 横坐标的两倍,  求此曲线方程. ∵ y ′ = 2x = x 2 + C 所求曲线过点(1,2), 2 = 12 + C ∴ C = 1. y = x 因此所求曲线为 2 + 1

第四章不定积分例4质点在距地面×。处以初速V铅直上抛，不计阻力求其运动规律解取质点运动轨迹为坐标轴原点在地面指向朝上质点抛出时刻为t=0，此时质点位置为Xo，初速为Vo.设时刻t质点所在位置为X=x(t)，则Xdx1运动速度v(t) 且x(0) =Xox = x(t)dtd2xdu加速度2且v(0)=Vo-gdt2dtX。= x(0)先由②求出v(t）再由求出x(t).01x(t) =28t? +vot+ xo于是所求运动规律为第一节不定积分的概念与性质

第一节 不定积分的概念与性质 第四章 不定积分 o 则 x 例4 解 质点在距地面x0处以初速v0铅直上抛,不计阻力,求其运动规律. 取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上, 质点抛出时刻为t = 0,此时质点位置为x0, x0 = x(0) 初速为v0. 设时刻t质点所在位置为x = x(t), 且 x = x(t) x(0) = x0 ① 且v(0) = v0 ② 再由①求出x(t). 于是所求运动规律为 先由②求出v(t)