《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）4.4 有理函数的积分

第四节有理函数的积分、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分

第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分

第四章不定积分一、有理函数的积分两个多项式的商表示的函数称为有理函数aoxn + aixn-1 +...+ an-1x + anP(x)定义其中mnEboxm +bixm-1 +...+ bm-1x + bmQ(x)aoai,...anEbobi,...bmE并且a。±0b。≠0.假定分子与分母之间没有公因式（1）当n<m时,这有理函数是真分式：(2）当n≥m时这有理函数是假分式：多项式十真分式之和利用多项式除法第四节有理函数的积分

第四节 有理函数的积分 第四章 不定积分 一、有理函数的积分 利用多项式除法 定义 两个多项式的商表示的函数称为有理函数. 其中 m,n ∈ ᵇ+, a0,a1, ⋯ ,an ∈ ᵇ, b0,b1, ⋯ ,bm ∈ ᵇ, 并且a0 ≠ 0,b0 ≠ 0. 假定分子与分母之间没有公因式 多项式 + 真分式之和

1x3 + x+ 1例如：x+=x2 +1x2 + 1难点将有理函数化为部分分式之和

第四节 有理函数的积分 第四章 不定积分 难点 将有理函数化为部分分式之和. 例如:

第四章不定积分有理函数化为部分分式之和的一般规律：（1）分母中若有因式（口则分解后为A1A2AK其中A1A2，Ak都是常数(x - a)k + (x- a)k-1x-a(2）分母中若有因式（x2++q)k，则分解后为Mix + N1M2x + N2Mkx+ Nk+(x2 + Px +g)k-1 + .(x2 + Px +q)kx2+Px+q其中M,N,i=1,k都是常数第四节有理函数的积分

第四节 有理函数的积分 第四章 不定积分 有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 (ᵇ− ᵇ) ᵇ ,则分解后为 其中A1,A2, ⋯ ,Ak都是常数 （2）分母中若有因式 (x 2 + ᵇx + q) k , 则分解后为 其中Mi ,Ni ,i = 1, ⋯ ,k都是常数

第四章不定积分例将下列真分式分解为部分分式：11x+3(1)2XS5x+1 + 2x)(1 + x2)-1-Y解（1）用拼法 (x- 1) + x11-1(x - 1)2x(x - 1)2x(x - 1)2x(x -1)1111(x -1) - x(x - 1)2-1)2xx(x - 1)x-x第四节有理函数的积分

第四节 有理函数的积分 第四章 不定积分 (1)￾用拼凑法 例 将下列真分式分解为部分分式￾: 解     − (x − 1) + x = 1 x

第四章不定积分（2）用待定系数法ABx+3x+3x2-5x+6x-3x-2(x -2)(x - 3)：右端分子=A(3）+B(2):X+3=A(+ 3)+B(2)(A+B=1=-5比较两端通次幂的系数得-3A-2B=3( B = 6.6-5x+3.x-3x-2x2 - 5x + 6第四节有理函数的积分

第四节 有理函数的积分 第四章 不定积分 (2)￾用待定系数法 ∵ 右端分子 = A(ᵇ− 3) + B(ᵇ− 2) ∴ x + 3 = A(ᵇ− 3) + B(ᵇ− 2) 比较两端通次幂的系数得

第四章不定积分（3）赋值法1ABx + C(1 +2x)(1+x2)-1 +2x1 +x2:A(1 + x2) + (1 + 2x)(Bx + C) = 14A15A+C=12代入特殊值来确定系数ABC2A+3B+3C=1=BM152A+B-C=11C=依次取x=0,1，一1得5452115x+51 +x2(1 + 2x)(1 + x2)1+2x第四节有理函数的积分

第四节 有理函数的积分 第四章 不定积分 (3)￾赋值法 ∴ A(1 + x 2 ) + (1 + 2x)(Bx + C) = 1 代入特殊值来确定系数A,B,C. 依次取x = 0,1, − 1,得

第四章不定积分例求下列积分：11x+31dxx2- 5x + 6+2x)(1 +x2)x(x-解(1）由例1知1111x(x - 1)2x1X11:dxdx+1d21)X:XS21= In[x|- In|x-1]+ Cx-1第四节有理函数的积分

第四节 有理函数的积分 第四章 不定积分 例 求下列积分: 解 (1)￾由例1知

第四章不定积分（2）由例1知-56x+3x-2x2 - 5x +6x-356x+3dxdxdx*+x235x +62xXd(x- 3) +6d(x-2)=-5ln|x-3|+6ln[x-2|+C第四节有理函数的积分

第四节 有理函数的积分 第四章 不定积分 (2)￾由例1知

第四章不定积分(3）由例1知45花+11151 + x2(1 + 2x)(1 + x2)1 + 2x452115++15dx-dxdx1 + x21+2x1 +2x)(1 +x2141112x11d(1+2x)dxdx-5522C1+2x1+121-ln/1+2x/-=In(1 +xarctanx+C555第四节有理函数的积分

第四节 有理函数的积分 第四章 不定积分 (3)￾由例1知