《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章_7.1微分方程的概念

第七章#微分方程已知y'=f(x),求y 一积分问题推广已知含y及其若干阶导数的方程,求y一微分方程问题

第七章 微分方程 已知 y f x y   ( ), 求 — 积分问题 已知含 y y 及其若干阶导数的方程, 求 — 微分方程问题 推广

第一节微分方程的概念、问题的提出二、微分方程的定义三、 微分方程的解四、小结

第一节 微分方程的概念 • 一、问题的提出 • 二、微分方程的定义 • 三、微分方程的解 • 四、小结

问题的提出一、1例1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求此曲线的方程解设所求曲线为 y=y(x)业= 2x 其中 x=1时,y= 2 dxy=[2xdx即y=x?+C,求得C=1,所求曲线方程为y=x2+1

解 设所求曲线为 y  y(x) 2 dy x dx   y  2xdx 其中 x  1时, y  2 , 2 即 y  x  C 求得C  1, 1 . 2 所求曲线方程为 y  x  一、问题的提出 例1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,y) 处的切线的斜率为2x，求此曲线的方程

例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶当制动时列车获得加速度一0.4来/秒2，问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解设制动后t秒钟行驶 s米,s=s(t)d'sds=-0.4 t = 0时,s = 0,v== 20,dt?dtdss = -0.2t2 +C,t+C,= -0.4t + C1V=dt

例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s  s(t) 2 2 0.4 d s dt    0 ,  0,  20, dt ds t 时 s v 1 0.4t C dt ds v     1 2 2 s  0.2t  C t  C

代入条件后知C =20, C2 = 0ds=-0.4t + 20,V=dt故 s = -0.2t2 + 20t,20开始制动到列车完全停住共需50(秒),0.4列车在这段时间内行驶了s = -0.2×502+20×50= 500(米)

代入条件后知 C1  20, C2  0 0.2 20 , 2 s   t  t   0.4t  20, dt ds v 故 50( ), 0.4 20 t   秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s    2    米 开始制动到列车完全停住共需

二、行微分方程的定义微分方程：凡是表示未知函数以及未知函数的导数(或微分)与自变量之间的关系的方程叫微分方程例 y'=xy,y"+2y'-3y=etaz(t2 + x)dt + xdx = 0,=x+y,ax

微分方程: 例 y  xy, ( ) 0, 2 t  x dt  xdx  2 3 , x y   y  y  e x y, x z    凡是表示未知函数以及未知函数的导数(或微 分)与自变量之间的关系的方程叫微分方程. 二、微分方程的定义

微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之为微分方程的阶分类1：常微分方程，偏微分方程分类2：一阶微分方程F(x,y,y)=0, y'=f(x,y);高(n)阶微分方程 F(x,y,y",,y(n))= 0,y(n) = f(x,y,y',..",j(n-l)

微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之为微分方程的阶. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y)  0, y  f (x, y); 高(n)阶微分方程 ( , , , , ) 0, ( )   n F x y y  y ( , , , , ). ( ) ( 1)   n n y f x y y  y 分类2:

三、主要问题-----求方程的解微分方程的解：即代入微分方程能使方程成为恒等式的函数设y=β(x)在区间I 上有 n阶导数F(x,p(x), Φ(x),...,(n)(x)) = 0.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同

微分方程的解: 即代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 设y x I n  ( ) , 在区间 上有 阶导数 ( ) ( , ( ), ( ), , ( )) 0. n F x x x x      微分方程的通解： 三、主要问题-求方程的解 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的 个数与微分方程的阶数相同

例y'=y,通解y=Ce*;y"+y= 0,通解y=C sinx+C,cosx;微分方程的特解：石确定了通解中任意常数以后的解。初始条件：用来确定任意常数的条件微分方程的积分曲线：解的图形积分曲线族：通解的图形

微分方程的特解：确定了通解中任意常数以 后的解. 例 y  y, ; x 通解 y  Ce y   y  0, sin cos ; 通解 y  C1 x C2 x 微分方程的积分曲线：解的图形. 积分曲线族：通解的图形. 初始条件: 用来确定任意常数的条件

初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题[y'= f(x,y)一阶:过定点的积分曲线：[J]x=x = yoy" = f(x,y,y')二阶[Jix=x, = Yo, Jix=x。 = 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线

过定点的积分曲线;        0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶:            0  0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题