《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.5函数的极值与最大最小值

第五节 函数的极值与最大最小值、函数极值及其求法二、最大最小值问题三、小结

第五节 函数的极值与最大最小值 • 一、函数极值及其求法 • 二、最大最小值问题 • 三、小结

一、函数的极值及其求法1、函数极值的定义定义设函数f(x)在点x的某邻域U(x.)内有定义如果对于去心邻域U(x)内的任一点x有f(x)f(xo)那么就称f(x)是函数f(x)的一个极大值(极小值);函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点

0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ( ) ( )), ( ) ( ) ( ); f x x U x U x x f x f x f x f x f x f x 设函数 在点 的某邻域 内有定义 如果对于去心邻域 内的任一点 有 或 那么就称 是函数 的一个极大值 极小值   定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 一、函数的极值及其求法 1、函数极值的定义

Vy= f(x)xax0xxxxxb0XoXo0xx

o x y a b y = f (x) 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x o x y o x y x0 x0

2、函数极值的求法定理1(必要条件）设f(x)在点x,处可导，且在点x,处取得极值，那么必有f(x)=0>注意：(1)可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点但函数的驻点却不一定是极值点(2)极值也有可能在不可导点取得例如，= x",J"|x=o=0,但x=0不是极值点y=x|在x=0点不可导，但是取得极小值

➢ 注意: (1) ( ) , . f x 的极值点必定是它的驻点 但函数的驻点却不一定 导函数 是极值点 可 例如, 3 0 , 0, 0 . x y x y x = = = =  但 不是极值点 2、函数极值的求法 (2)极值也有可能在不可导点取得 y x x = = 0 在 点不可导，但是取得极小值. 0 0 0 1( ( ) ( ) 0 ) f x x x f x  = 设 在点 处可导，且在点 处取得极值，那么必有 定理 必要条件

定理2(第一充分条件)设函数f(x)在x,处连续，且在x,的某去心邻域1U(x,)内可导(1)如果x E(x -S,x,),有f'(x)>0;而x E(x,x, +),有f'(x)0，则f(x)在x,处取得极小值;(3)如果x E(x, -S,x)及xE(xo,x。 +), f'(x)符号相同，则f(x)在x,处不取得极值

定理2(第一充分条件) 0 0 0 0 ( ) ( ) f x x x U x 设函数 在 处连续，且在 的某去心邻域 内可导 0 0 0 0 0 (1) ( , ), ( ) 0; ( , ) ( ) 0 ( ) x x x f x x x x f x f x x  −   +      如果 有 而 ， 有 ，则 在 处取得极大值； 0 0 0 0 0 (2) ( , ), ( ) 0; ( , ) ( ) 0 ( ) x x x f x x x x f x f x x  −   +      如果 有 而 ， 有 ，则 在 处取得极小值； 0 0 0 0 0 (3) ( , ) ( , ) ( ) ( ) x x x x x x f x f x x 如果  −  +   及 ，  符号相同，则 在 处不取得极值

yyoloXoxxXo(是极值点情形)y十十ofolxXoxXo（不是极值点情形）

x yo x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形) x y o 0 x + − + (不是极值点情形) 0 x − x y o

如果函数f(x)在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导求极值的步骤：(1)求导数 f(x);(2)求f(x)的驻点及不可导点；(3)考察f(x)在驻点及不可导点左右邻近的正负号,判断是否是极值点(4)求出极值

求极值的步骤: (1) 求导数 f (x); (2) ( ) ; 求f x 的驻点及不可导点 (3) ( ) , ; 考察 f x  在驻点及不可导点左右邻近 的正负号 判断是否是极值点 (4) . 求出极值 如果函数f(x)在所讨论的区间内连续，除个别点 外处处可导

例1 求函数f(x)=(x-4)/(x+1)的极值解：(1)f(x)在内(-80,+80)连续，除x=-1外处处可导，且5(x -1)f'(x) = 3/x+1(2)令f(x)=0，得驻点x =1，x=-1为f(x)的不可导点；(3)在(-80,-1)内，f'(x)>0;在(-1,1)内,f'(x)0,故驻点x=1是一个极小值点;

3 2 例1 ( ) ( 4) ( 1) 求函数f x x x = − + 的极值. 3 (1) ( ) ( , ) 1 5( 1) ( ) 3 1 f x x x f x x − + = − −  = + 解： 在内 连续，除 外 处 可导,且 (2) ( ) 0 1 1 ( ) ; 令f x x x f x  = = = − ，得驻点 ， 为 的 不可导点 (3) ( , 1) ( ) 0; ( 1,1) ( ) 0; 1 (1, ) ( ) 0, 1 f x f x x f x x − −  −    = − +   = 在 内， 在 内, 故不可导点 是一个极大值点；又在 内, 故驻点 是一个极小值点；

(4)极大值f(-1)=0，极小值f(1)=-3/4.x(-1, 1)(1, +8)-11(-80,-1)不可导0f'(x)++极小值极大值f(x)个个

3 (4) ( 1) 0 (1) 3 4. 极大值f f − = = − ，极小值 x (−,−1) − 1 ( , ) −1 1 1 (1, ) + f (x) f (x) + − +  0   极大值 极小值 不可导

设函数f(x)在x,处具有二阶导定理3(第二充分条件)1数，且f'(x)=0，f"(x)0，那么(1)当f"(x)0时，函数f(x)在x,处取得极小值f'(x, +Ax)- f'(xo)f'(x)= 0,当△x >0时,有f(x, +△x)< f'(x,)= 0,所以，函数f(x)在x,处取得极大值．同理可证(2)

证 (1) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0, x f x x f x f x  → x   +  −  =   故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x  0时， 0 0 有f x x f x   ( ) ( ) 0, +   = 当x  0时， 0 0 有f x x f x   ( ) ( ) 0, +   = 所以，函数 f (x)在x0处取得极大值． 同理可证(2). 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 (1) ( ) 0 ( ) (2) ( ) 0 ( ) . 3( ) f x x f x f x f x f x x f x f x x   =      设函数 在 处具有二阶导 数，且 ， ，那么 当 时，函数 在 处取得极大值； 当 时，函数 在 处 定理 第二充分条件 取得极小值