《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第四章_4.4有理函数的积分

第四节 有理函数的积分一、 有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分四、小结

第四节 有理函数的积分 • 一、有理函数的积分 • 二、三角函数有理式的积分 • 三、简单无理函数的积分 • 四、小 结

一、有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数P(x)_ a,x" +axn-1 +..+an-ix+a.nQ(x) bx" +b,xm-I +...+bm-x+b,11其中m、n均为非负整数；ao,aj,…,a,及bo,b,…,bm均为实数，并且a,≠0，b≠0

有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ) , , , , , , 0 0. n n n n m m m m n m P x a x a x a x a Q x b x b x b x b m n a a a b b b a b − − − − + + + + = + + + +   其中 、 均为非负整数； 及 均为实数，并且 ， 一、有理函数的积分

假定分子与分母之间没有公因式(1）n<m，这有理函数是真分式(2）n≥m,这有理函数是假分式;利用多项式除法，假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和x3+x+1例=x+x? +1x+1难点：将有理函数化为部分分式之和

假定分子与分母之间没有公因式 (1) , n m 这有理函数是真分式； (2) , n m 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 3 2 1 1 x x x + + + 2 1 . 1 x x = + + 难点: 将有理函数化为部分分式之和

根据多项式理论，任一多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘积，即Q(x) = b,(x-a)~ ...(x-b)β(x2 + px+g) ...(x2 +rx+ s)其中 p2-4g<0,.….,r2-4s<0

0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x b x a x b x px q x rx s = − − + + + +     根据多项式理论，任一多项式 Q x( ) 在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的 乘积，即 2 2 其中 4 0, , 4 0 p q r s −  − 

P(x)如果 Q(x)分解为上式，则式可分解为Q(x)AAAP(x)a(x-a)a-1(x-a)~Q(x)(x-a)BB,BzB十+(x-b)β-1(x-b)B(x-b)M,x+N,Mx+NM,x+N,(x* + px + )a-1(x2 + px +g)(x + px+q)R.x+sRx+sRx+S,X(x? + rx + s)μ-1(x+rx+s)u(x +rx+s)

1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x A A A Q x x a x a x a B B B x b x b x b       − − = + + + − − − + + + + − − − 如果 分解为上式，则式 可分解为 ( ) ( ) P x Q x Q x( ) 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M x N M x N M x N x px q x px q x px q R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s         − − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

有理函数化为部分分式之和的一般规律Q(x) = b,(x -a)~ ...(x -b)β(x? + px +q)~ ...(x2 + rx + s)(1）分母中若有因式(x一a)~，则分解后为AA.(x-a)a-1(x-a) +x-a其中A,A,,A,是常数A当α=1时,分解为x-a

（1）分母中若有因式 ( ) x a −  ，则分解后为 1 2 1 , ( ) ( ) A A Ak x a x a x a − + + + − − −   有理函数化为部分分式之和的一般规律： 1 , ; A x a = − 当 时 分解为 1 2 , , , . 其中A A Ak是常数 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x b x a x b x px q x rx s = − − + + + +    

Q(x) = b,(x -a)~ ...(x -b)β(x? + px+q) ...(x? + rx+ s)(2）分母中若有因式(x2+px+g)~，其中p2-4q<0 则分解后为M,x+N,Mx+NM,x+ N(x* + px+g)a- + .(x2 + px +q)x+ px+q其中M,N,是常数(i=1,2,…,2)Mx+ N特殊地：入=1，分解后为x? + px+q

（2）分母中若有因式 ，其中 2 ( ) x px q + +  则分解后为 2 p q −  4 0 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) M x N M x N M x N x px q x px q x px q − + + + + + + + + + + + +     特殊地： λ = 1, 分解后为 2 ; Mx N x px q + + + , ( 1,2, , ). M N i i i 其中 是常数 = λ 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q x b x a x b x px q x rx s = − − + + + +    

真分式化为部分分式之和的待定系数法x+3Bx+3A例1x-5x+6(x -2)(x-3)x-3x-2x+3 = A(x-3)+ B(x-2)x+3=(A+B)x-(3A+2B)A+ B=1,A=-5LB=6-(3A+2B) = 3,-56x+3+x2-5x+6x-2x-3

真分式化为部分分式之和的待定系数法 2 3 5 6 x x x + − + 3 ( 2)( 3) x x x + = − − , 2 3 A B x x = + − − x A x B x + = − + − 3 ( 3) ( 2),  + = + − + x A B x A B 3 ( ) (3 2 ), 1, (3 2 ) 3, A B A B  + =    − + = 5 , 6 A B  = −    = 2 3 5 6 x x x +  − + 5 6 . x x 2 3 − = + − − 例1

说明：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：Mx+ NA(3)(2)(1) 多项式;(x + px +q)"(x-a)"Mx+ Ndx,讨论积分9)"(x? + px +2pp: x2 + px + q =Ix++q2-P-2令x+

说明: 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况： (1) 多项式； (2) ; ( )n A x a − 2 (3) ; ( )n Mx N x px q + + + 讨论积分 2 , ( )n Mx N dx x px q + + +  2 2 2 , 2 4 p p x px q x q   + + = + + −     令 t p x + = 2

记 x2+px+q=t2+a2，Mx + N = Mt + b.Mpp则 α2=qb=N124Mx + Ndx(x? + px+q)bMtdtdt ++a")"(t?+a'")"(t2

2 2 , 4p a q = − , 2 Mp 则 b N= − 2 ( ) n Mx N dx x px q +  + +  2 2 ( ) n Mt dt t a = +  2 2 ( ) n b dt t a + +  , 2 2 2 记 x + px + q = t + a Mx + N = Mt + b