《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-3 函数极限

第三节函数的极限一、函数极限的概念二、 函数极限的性质

二、 函数极限的性质 一 、函数极限的概念 第三节 函数的极限

(一)函数极限的概念数列x，的极限可以看作自变量为正整数的函数x,=f(n）,nEN+当n→+oo时的极限

（一）函数极限的概念 1 x 1 2 x 2 3 x 3 n x . . n . . 0 xn n ( ), n x f n n N n      当 时的极限. 数列 { } 的极限可以看作自变量为正整数的函数: n x

(一)函数极限的概念对 y=f(x)，自变量变化过程的六种形式：(1) x→ x。8(2)x-x。x→+8(3) x- x,6→-8

（一）函数极限的概念 0 ( 1 ) x x  0 ( 2 ) x x   0 ( 3 ) x x   ( 4 ) x   ( 5 ) x    ( 6 ) x    自变量变化过程的六种形式:

1.x→x时函数极限的定义例：Af(x) =x-1当时，f(x) → 2lim-1Y-

0 x y 例： 1 当 时， 2 f x ( )  2 lim 2 1 1 2  1   x  x x 1. 时函数极限的定义

定义1.设函数f(x）在点xo的某去心邻域内有定义，若>0,>0,当 0|x-xo时,有f(x)-0,3>0,当0x-x即X-→XO时,有/f(x)-A<几何解释：2y= f(x)A+&A-8Qx, -8 Xoxa+ 8 x

定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,    0 ,    0 , 当     0 0 x x 时, 有 f ( x )  A   则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x   lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作 A   A   几何解释: O A 0 x   0 x0 x   x y y  f ( x )

例1.证明limC=C（C为常数）x-→Xo证：f(x)-A=|C-C=0故>0,对任意的>0,当-时总有C-C=0<8lim C= C因此x-→Xo

例1. 证明 证: f ( x )  A 故    0 , 对任意的   0 , 当 时 , 因此 总有

例2.证明月lim(2x-1)=1x>1证：If(x)-A| =|(2x-1)-1|= 2|x -1V>0,欲使|(x)-A|<,只要 [x-1<%取8=%,则当0|-1<时,必有f(x)-A =(2x-1)-1<8因此lim(2 x -1) =1x-1

例2. 证明 证:  2 x  1    0 , 欲使 取 , 2    则当 0  x  1   时, 必有 因此 只要

例3.证明limx→1 x-1证: | f(x)- A=x+1-2|=x-1x-故>0,取=,当0-1时,必有x2<8x-1lim因此x-1 x-1

例3. 证明 证: f ( x )  A 故    0 , 取    , 当 时, 必有      2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1     x x x

2.x→x时单侧极限的定义x2 -1例: f(x)=x-1当 x → 1-时， f(1-)= 2limx→1x-1当x→1时，f(1+)=21+中X-4limx→1+ x-1

例： 当 x   1 时， f ( )  1 2  lim x x x      2 1 1 2 1 2. 时单侧极限的定义 当 x   1 时， f ( )  1 2  lim x x x      2 1 1 2 1 0 x y 1 2 x   1 x   1

定义1.设函数f(x)在点xo的某去心邻域内有定义，若>0,0当时,有f()-则称常数A为函数f(x）当x→x删极极限记作lim f(x)= A 或f(x))A(当x→xo)XXOlimm)00即X-0时,有/f(x)-A<几何解释：1y= f(x)A+&A-8o1xx,-8 Xo

定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,    0 ,    0 , 当     0 0 x x 时, 有 f ( x )  A   则称常数 A 为函数 当 时的极限, f x A x x   lim ( ) 0 或 即 当 时, 有 若 记作 A   A   几何解释: O A x0 x y y  f ( x ) 0 x   0 0 x    δ x x 时的左极限, 0 lim ( )    x x f x A 0 0 x    δ x x