《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第一章 函数与极限_1-9 连续函数的运算与初等函数的连续性

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的运算法则二、初等函数的连续性

一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性

一、连续函数的运算法则定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和，差，积商（分母不为0）运算，结果仍是一个在该点连续的函数（利用极限的四则运算法则证明）例如，sinx,cosx连续一>tanx，cotx在其定义域内连续定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增（递减）(递减)（证明略）ysinxarcsinx例如，=sinx在[-，]上连续单调递增，其反函数y=arcsinx在[-1,1]上也连续单调递增

定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y  sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y  arcsin x (递减) (证明略) 在[1, 1]上也连续单调 (递减) 1 1 O x y 2 π 2 π 递增. sin x arcsin x

V又如，y=e"在(-00,＋)上连续单调递增,其反函数 = n x在y=lnx0，+80）上也连续单调递增x定理3.若limg(x)=uo，函数f(u)在点u.连续X-→XO则有lim f[g(x)=f(uo)=f[lim g(x)]X-→X0x→Xo注：1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续2.将x→x换成x→可得类似的定理

在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, x y O y  ln x e x y  1 1 单调 递增, 定理3. 0 0 0 0 0 0 lim ( ) , ( ) , lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. 若 函数 在点 连续 则有 x x x x x x g x u f u u f g x f u f g x       注: 1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续. 0 2.将x x x    换成 可得类似的定理

又如，=e"在(-00,＋)上连续单调递增,其反函数 y= lnx在y=lnx0，+80）上也连续单调递增x定理3.若limg(x)=uo，函数f(u)在点u.连续X-→XO则有lim f[g(x)=f(uo)=f[lim g(x)]X-XoX-→Xo意义：在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层

在 上连续 其反函数 在 上也连续单调递增. 又如, x y O y  ln x e x y  1 1 单调 递增, 定理3. 0 0 0 0 0 0 lim ( ) , ( ) , lim [ ( )] ( ) [lim ( )]. 若 函数 在点 连续 则有 x x x x x x g x u f u u f g x f u f g x       意义: 在定理的条件下，极限符号可以与函数符号 互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接 取在内层

x-3例1. 求limx?-9x-3x-3x-3解： y=Vx?-9可看作由y=u与u复合而成，x?-9x-3，且=V在点u=连续，所以由于lim60x-3x-3x-3limr-3

例1. 求 解: 可看作由 与 复合而成， 由于 且 在点 连续，所以

定理4.设函数u= g(x)在点x=x,连续，且g(x）=uo，而函数y=f(u)在点u=u连续则复合函数y=f[g(x)在点x=x也连续显然定理4是定理3的特殊情况

定理4. 0 0 0 0 0 ( ) , ( ) , ( ) , [ ( )] . 设函数 在点 连续 且 而函数 在点 连续 则复合函数 在点 也连续 u g x x x g x u y f u u u y f g x x x        显然 定理4是定理3的特殊情况

是由连续函数链例如，y=sinxy= sinu, uE(-o,+oo), XER*=R\[0]复合而成，因此y=sin=在xeR*上连续V=SinXX

例如, 是由连续函数链 x R R= * \ {0} 因此 在 x R 复合而成 * 上连续 . , x y 1  sin x y O

二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续一切初等函数在定义区间内连续函数经四则运算仍连续连续连续函数的复合函数连续例如，=/1-x2 的连续区间为[-1,1](端点为单侧连续)y=lnsinx 的连续区间为(2n,(2n+l)元）,nZ

二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y  1 x 的连续区间为 (端点为单侧连续) y  ln sin x 的连续区间为

log.(1 + x)例2.求limx-→0x解: 原式=limloga(1+x)* =logaeInax-0ax-1例3.求limx-0x解：令t=α×-1,则 x=loga(1+t)t原式=lim=lnat-0 loga(1+t)说明：由此可见当α=e,x→0时，有In(1+x) ~ xer-1~ x

例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令  1, x t a 则 x log (1 t),  a  原式 log (1 ) lim 0 t t a t    说明: 由此可见当 时, 有 ln(1 x) ~ e 1 ~ x x x

例4.求lim(1+2x）mxx-06xsinx(1 + 2x)2x解：原式 =limX-0原式 = lime孟ln( + 2) = 取对数法x-03, n(1+2x)3.2xlimlimsinxx=er-0三6=ex→0一般地，对于形如u(x)(x)(u(x)>0,u(x)≠1)的函数称为幂指函数，如果limu(x)=a> 0,limv(x)= b,则limu(x) (x) = ab

例4. 求 解: 原式 原式 ln(1 2 ) sin 3 x x  ln(1 2 ) sin 3 x x  3 2x x 