《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 微分方程_7-4 一阶线性微分方程

第七章第四节一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程

一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第七章

一、一阶线性微分方程dy + P(x)y= Q(x)一阶线性微分方程标准形式dx若 Q(x)=0,称为齐次方程若 Q(x)丰0，称为非齐次方程dy+ P(x)y= 01.解齐次方程dxdy=-P(x)dx分离变量yIn|y|=-{P(x)dx + In|C两边积分得y=Ce-JP(x)dx故通解为

一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y   若 Q(x)  0, ( ) 0 d d  P x y  x y 若 Q(x)  0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y   P(x)dx  ln C  故通解为 P x x y C ( )d e   称为齐次方程 ;

d + P(x)y=Q(x)2.解非齐次方程dx用常数变易法: 作变换(x)=u(x)e-[ P(t)dx,则u'e-]P()dP()ueP()d+ P()dx=()duO(r)e / P(a)dx即dxu= Jo(x)eJ P(x)d*dx+C两端积分得故原方程的通解 y=-[P(o)d[『o(x)e P(a)ddx+c]即 = Ce-[P(x)dx+e-JP(x)dxJo(x)el P(x)d*dx齐次方程通解非齐次方程特解

  P x x y C ( )d 对应齐次方程通解 e 齐次方程通解 非齐次方程特解  P x x C ( )d e 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y   用常数变易法: ( ) ( ) e , ( )   P x x y x u x d 则   P x x u ( )d e  P(x)  P x x u ( )d e  Q(x) 故原方程的通解 Q x x P x x P x x e ( ) e d ( )d ( )d                y Q x x C P x x P x x e ( ) e d ( )d ( )d 即 y  即 作变换   P x x P x u ( )d ( ) e u Q x x C P x x     ( ) e d ( )d 两端积分得

2ydy(x+1)例1.解方程dxx+1dy_ 2dxdy2y=0,即解：先解dxyx+1x+1积分得ln||=2ln|x+1|+lnC|，即y=C(x+1)用常数变易法求特解.令 =u(x)·(x+l)2,则y' = u' (x +l)? + 2u·(x+ 1)导 u'=(x+1)2代入非齐次方程得u=(x+1)% +C解得故原方程通解为 y=(x+1)[(x+1)~2+C

例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d    x y x y 即 1 d 2d   x x y y 积分得 即 2 y  C(x 1) 用常数变易法求特解. ( ) ( 1) , 2 y  u x  x  则 ( 1) 2 ( 1) 2 y   u   x   u  x  代入非齐次方程得 解得 u  x  2  C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为 令

注意用变量代换将方程化为已知类型的方程dy例如，解方程dxx+ydx线性方程法1.取作自变量=x+ydydydu法2.作变换u=x+y，则y=u-x,dxdxdu代入原方程得dxuduu+l可分离变量方程dxu

注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如, 解方程 x x y y   1 d d x y y x   d d u  x  y, y  u  x, 1 d d d d   x u x y 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法2. 作变换 则 代入原方程得 , 1 1 d d x u u   u u x u 1 d d   可分离变量方程

例2.设可导函数(x）满足p(x)cos x+ 2 (c(t)sin tdt = x +1,求p(x)解：对仿程的两端对x求导得p'(x)cos x - @(x)sin x + 2p(x)sin x = 1@'(x)+tan xp(x)=secx令x=0代入方程得0(0)=1.设y=p(x),则原方程等价于y'+ tan x·y= sec x,(y(0) = 1

例2. 设可导函数 ( ) x 满足 0 ( ) cos 2 ( )sin 1, x   x x t tdt x     求 ( ). x 解: 对方程的两端对x求导得    ( ) cos ( ) sin 2 ( ) sin 1. x x x x x x    令x=0代入方程得 (0) 1.       ( ) tan ( ) sec . x x x x 设 y x  ( ), 则原方程等价于 tan sec , (0) 1. y x y x y        

y'+ tan x·y= sec x,(1)(2)(y(0) = 1.(1)式是一个一阶线性微分方程，解得tanxdxtan xdxdx+csecxey== cos x(tan x + C)代入初始条件(2)式得C=1:y=@(x)=sinx+cosx小结与作业

小结与作业 (1)式是一个一阶线性微分方程，解得 tan d tan d e sec e d x x x x y x x c               cos tan . x x C   tan sec , (0) 1. y x y x y         (1) (2) 代入初始条件(2)式得 C 1.     y x x x ( ) sin cos

*二、伯努利（Bernoulli）方程伯努利方程的标准形式：dy+ P(x)y=Q(x)yn (n ± 0,1)dx·伯努利雅各布第解法：以μn 除方程两边，得d + P(x)yl-n =Q(x)hdx令=l-n,则μ,-n dy=(1-n)ydxdx+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x）（线性方程）dx求出此方程通解后，换回原变量即得伯努利方程的通解伯努利

*二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: ( ) ( ) d d 1 P x y Q x x y y n n     令 , 1 n z y   x y n y x z n d d (1 ) d d  则   (1 ) ( ) (1 ) ( ) d d n P x z n Q x x z     求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利

d=α(lnx)y2的通解例4.求方程dxx解：令z=y-l,则方程变形为dz_三=-α lnxdx xidx“ -aln,e d c其通解为z=e=x[C-(Inx)? ]将z=y-1代入，得原方程通解yx[C-(lnx)2 ]=1

例4. 求方程 的通解. 解: 令 , 1 z  y 则方程变形为 a x x z x z ln d d    其通解为 z  e 将 1 z  y x x d 1    (a ln x) e x x d 1   dx  C    2 (ln ) 2 x a  x C  代入, 得原方程通解:

内容小结dy1.一阶线性方程+ P(x)y = Q(x)dx方法1先解齐次方程，再用常数变易法方法2用通解公式=e[P()d*[JQ(x)eJ P(m)ddx+C]2.注意用变量代换将方程化为已知类型的方程dy1例如，解方程dxx+y

内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 y  Q x x C  P x x P x x       e ( ) e d ( )d ( )d 2. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如, 解方程 x x y y   1 d d