《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章课件_第三章第六节

第三章第七节孤微分与曲率弧微分曲率二、三、曲率半径与曲率圆HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

第七节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 弧微分 二、 曲率 三、 曲率半径与曲率圆 弧微分与曲率 第三章

曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关MMMAαHIGHEDUCATION PRESS机动目录上页返回下页结束

曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束  M  M M 

弧微分一、AB设 =f(x)在(α,b)内有连续导数, 其图形为Vy= f(x)弧长 s= AM = s(x)BMMMAsMM'MAxMMAxAxMM'(△x)? +(Ay)xOtbxMM'△xx+△xMM'MM'lim=±1MM'MM'Ax-0= /1+(y): s(x)= limAx-0 △xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s = AM = s(x) x s   M M M M   = x M M    M M M M   = x x y   +   2 2 ( ) ( ) M M M M   =  2 1 ( ) x y   + x s s x x     =  →0 ( ) lim 2 = 1+ ( y ) x A B y = f (x) a b x o y x M x + x M  y lim 1 0 =     → M M M M x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

s'(x)= /1+(y)x 或 ds = /(dx)2 +(dy)2ds = /1+(y)?dxx= x(t)若曲线由参数方程表示(y= y(t)则弧长微分公式为V(x)" +(y) dtds=V几何意义：ds =|MTayMdxdxQ= sinα= cosα ;dsx x+dxdsXHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

则弧长微分公式为 ( ) ( ) 2 2 d d s x y t = +   ds 1 ( y ) dx 2  = +  或 2 2 ds = (dx) + (dy) x + dx dx o x y x M dy T  几何意义: ds = MT cos ; d d =  s x sin d d = s y 若曲线由参数方程表示:    = = ( ) ( ) y y t x x t 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、曲率在光滑弧上自点 M开始取弧段,其长为△s，对应切线转角为△α，定义弧段△s上的平均曲率1aKMMAAa点M处的曲率AadaK = limAs-0注意：直线上任意点处的曲率为0！HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

二、曲率 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线  , 定义 弧段 s 上的平均曲率 s K   =   M M  s 点 M 处的曲率 s K s   =  →  0 lim ds d = 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为

例.求半径为R的圆上任意点处的曲率解：如图所示M△s = R△αaAsR-αK = limR△s-0As可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害R愈大,则K愈小，圆弧弯曲得愈小HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s = R s K s    =  →  0 lim R 1 = 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .  s R M M   机动 目录 上页 下页 返回 结束

曲率K的计算公式dαK=设曲线弧 y=f(x)二阶可导ds2(设-)tanα = y'得α = arctan ydxdα = (arctan y)'dx1又ds = /1+y'? dx故曲率计算公式为K=(1 +y"2)%HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

tan = y  ) 2 2 (    设 −   得  = arctan y  d = (arctan y )dx 故曲率计算公式为 s K d d = 2 3 (1 ) 2 y y K +   = 又 曲率K 的计算公式 设曲线弧 y = f (x) 二阶可导, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：x = x(t)给出,则(1)若曲线由参数方程y=y(t)x'y"-x"y'"K((x)+(y)")(2)若曲线方程为 x=(y),则K=(1+ x*2)2K=(1+ y2)%HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束

说明: (1) 若曲线由参数方程    = = ( ) ( ) y y t x x t 给出, 则 2 3 (1 ) 2 y y K +   = (2) 若曲线方程为 x = ( y), 则 2 3 (1 ) 2 x x K +   = ( ) ( ) 3 2 2 2 ( ) x y x y K x y     − =   + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、曲率半径与曲率园D(α, β)设M为曲线C上任一点，在点在曲线M处作曲线的切线和法线TR的凹向一侧法线上取点D使M(x,y)1xDM=R=K把以D为中心，R为半径的圆叫做曲线在点M处的D叫做曲率中心曲率圆（密切圆），R叫做曲率半径在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系(2)凹向一致；(1）有公切线(3)曲率相同HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束

三、 曲率半径与曲率园 T y o x D( ,  ) R M (x, y) C 设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 在曲线 K DM R 1 = = 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的 曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束